قانون جاوس

في المادة المتعلقة بقانون كولوم، دُرست القوة بين الشحنات الكهربائية. وفي مراجعة المجالات الكهربائية، نُوقشت صيغة أخرى لقانون كولوم، مُعبر عنها بالمعادلة F = qE، حيث F هي القوة الكهربائية، وq هي الشحنة الكهربائية، وE هو المجال الكهربائي. ويمكن القول إن قانون كولوم هو قانون فيزيائي يُفسر العلاقة بين الشحنة الكهربائية (q) والمجال الكهربائي (E).

قانون جاوس هو قانون فيزيائي آخر يفسر العلاقة بين الشحنة الكهربائية والمجال الكهربائي. صاغ هذا القانون كارل فريدريش جاوس (1777-1855)، الفيزيائي والرياضي النظري الألماني. يمكن حساب المجال الكهربائي الناتج عن شحنة كهربائية واحدة أو أكثر بسهولة باستخدام قانون كولوم، لكن الحساب يصبح أكثر تعقيدًا عند تحديد المجال الكهربائي الناتج عن توزيع للشحنات الكهربائية. يوفر قانون جاوس طريقة أسهل لتحديد المجال الكهربائي الناتج عن توزيع للشحنات الكهربائية. علاوة على ذلك، إذا كان المجال الكهربائي معروفًا، فيمكن استخدام قانون جاوس لتحديد توزيع الشحنات الكهربائية الذي يُنتج هذا المجال. يتناول ما يلي مفهوم قانون جاوس وصيغته.

لنفترض وجود شحنة كهربائية موجبة في مركز الكرة كما هو موضح في الصورة الجانبية. إذا كان نصف قطر الكرة R، فإن شدة المجال الكهربائي الناتج عن الشحنة عبر سطح الكرة هي E = kQ/R² ومساحة سطح الكرة هي A = 4πR²لتمثيل المجال الكهربائي، تُرسَم خطوط المجال، لكن الشكل يُظهر أربعة خطوط فقط. ولأن الشحنة الكهربائية موجبة، تُرسَم خطوط المجال منبثقةً من مركز الكرة حيث توجد الشحنة، ويكون كل خط عموديًا على سطح الكرة التي يمر بها. وكلما ابتعدنا عن الشحنة، قلّ المجال الكهربائي، وبالتالي تزداد المسافة بين خطوط المجال.

يتم حساب التدفق الكهربائي الذي يخترق سطح الكرة باستخدام الصيغة التالية:

الوصف: Φ = التدفق الكهربائي، Q = الشحنة الكهربائية، k = 9 × 10⁹ ^نيوتن متر² ^/ كولوم² ^، ε₀ ₍ سماحية الفراغ) = 8,85 × ^10⁻¹² كولوم² /نيوتن متر² ^{، π} = 3,14. بناءً على هذه المعادلة، يُستنتج أن التدفق الكهربائي ( Φ ) المار عبر سطح كروي يتناسب طرديًا مع مقدار الشحنة الكهربائية (Q) فيه، ولا يعتمد على نصف قطر الكرة (R).

يوضح الشكل على اليمين أربعة أسطح مغلقة تحتوي على شحنة كهربائية Q. السطح الأول كروي الشكل، بينما الأسطح الأخرى ذات أشكال غير منتظمة. الشحنة الكهربائية موجبة، لذا فإن خطوط المجال الكهربائي الممثلة بأربعة أسهم تنطلق من الشحنة. تمر خطوط المجال الكهربائي الأربعة عبر السطح الكروي والسطح الآخر ذي الشكل غير المنتظم. في المراجعة المتعلقة التدفق الكهربائي وقد ورد أن التدفق الكهربائي هو خطوط المجال الكهربائي التي تخترق مساحة سطح معينة.خطوط المجال الكهربائي التي تخترق الأسطح الأربعة متماثلة، لذا فإن التدفق الكهربائي على جميع الأسطح الأربعة له نفس القيمة. التدفق الكهربائي الذي يخترق سطحًا كرويًا يساوي Φ = Q/ε_o وبالتالي، فإن التدفق الكهربائي الذي يخترق الأسطح الأخرى ذات الأشكال غير المنتظمة له نفس القيمة، أي Φ = Q/ε_oبناءً على هذا التفسير، يمكن استنتاج أن التدفق الكهربائي الذي يخترق سطحًا مغلقًا يحتوي على شحنة كهربائية لا يعتمد على شكل السطح، وأن مقداره يساوي Φ = 4πkQ = Q/ε_o.

يوضح الشكل على اليمين شحنتين كهربائيتين داخل سطح مغلق. الشحنة Q₁ و Q₂ موجبة بحيث إذا تم تمثيلها، فإن لكل شحنة خط مجال كهربائي يخترق السطح من الداخل. التدفق الكهربائي الكلي هو العدد الإجمالي لخطوط المجال الكهربائي التي تخترق سطحًا مغلقًا. لأن خطوط المجال الكهربائي للشحنة Q₁ مكافئ لتدفق كهربائي مقداره Φ = Q₁/ε_o وخطوط المجال الكهربائي للشحنة Q₂ مكافئ لتدفق كهربائي مقداره Φ = Q₂/ε_o إذن، العدد الإجمالي لخطوط المجال الكهربائي يساوي Q₁/ε_o + Q₂/ε_o = 1/ε_o (Q₁ + Q₂).

بناءً على هذا التفسير، يمكن استنتاج أن التدفق الكهربائي الكلي يساوي 1/ε₀ _{مضروبًا} في الشحنة الكهربائية الكلية على السطح المغلق. هذه العبارة هي قانون جاوس. رياضيًا:

Φ _{المجموع} = 1/ε _o ( _مجموع Q ) ———- معادلة قانون غاوس

يمثل Q total إجمالي الشحنة الكهربائية داخل سطح مغلق. إذا وُجدت شحنة كهربائية خارج هذا السطح، فلا تُؤخذ في الحسبان لأن التدفق الكهربائي الناتج عنها يساوي صفرًا. ويعود سبب انعدام التدفق الكهربائي إلى أن خطوط المجال الكهربائي الناشئة عن الشحنة تخترق السطح المغلق ثم تخرج منه، مما يجعل التدفق الناتج صفرًا. في قانون جاوس، يُعتبر السطح المغلق سطحًا افتراضيًا يُستخدم لحساب التدفق الكهربائي الناتج عن الشحنات الكهربائية. بعبارة أخرى، لا يشترط أن تكون الشحنات الكهربائية داخل سطح مغلق حقيقي. يُمكن استخدام قانون جاوس لتحديد المجال الكهربائي إذا كان توزيع الشحنات الكهربائية معروفًا، أو لتحديد توزيع الشحنات الكهربائية إذا كان المجال الكهربائي معروفًا. يُشرح استخدام قانون جاوس لحل مسائل متنوعة في مقال بعنوان " تحديد المجال الكهربائي باستخدام قانون جاوس".