أمثلة على أسئلة تناقش الدوال اللوغاريتمية
اللوغاريتمات مفهوم أساسي في الرياضيات، وخاصة في الجبر والتحليل. وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالأسس، وتُستخدم بكثرة لحل المعادلات الأسية وفي تطبيقات علمية وهندسية متنوعة. ستتناول هذه المقالة عدة مسائل لوغاريتمية شائعة، مع شرح وافٍ لكل مسألة.
مقدمة في اللوغاريتمات
اللوغاريتمات هي معكوس الأسس. فإذا كانت لدينا المعادلة الأسية \(b^y = x\)، فإن صيغتها اللوغاريتمية هي \(y = \log_b{x}\)، أي أن "y هو لوغاريتم x للأساس b". ومن اللوغاريتمات الشائعة الاستخدام اللوغاريتم الطبيعي (الأساس e) واللوغاريتم العشري (الأساس 10).
خصائص اللوغاريتمات
فيما يلي بعض الخصائص الأساسية للوغاريتمات التي تُستخدم غالبًا في حل المسائل:
1. لوغاريتم الناتج:
\[
\log_b{(xy)} = \log_b{x} + \log_b{y}
\]
2. لوغاريتم ناتج القسمة:
\[
\log_b{(\frac{x}{y})} = \log_b{x} – \log_b{y}
\]
3. لوغاريتم الأس:
\[
\log_b{(x^a)} = a \cdot \log_b{x}
\]
4. تغيير الأساس اللوغاريتمي:
\[
\log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}
\]
Contoh Soal dan Pembahasan
1. السؤال السابع:
أوجد قيمة \( \log_2{32} \).
مناقشة:
نعلم أن 32 يمكن كتابتها على الصورة 25. لذلك:
\[
log₂ 32 = log₂ (2⁵) = 5 ⋅ log₂ 2
\]
بما أن \(\log_2{2} = 1\):
\[
log₂₃² = 5 ⋅ 1 = 5
\]
إذن، قيمة \( \log_2{32} \) هي 5.
2. السؤال السابع:
إذا كان \( \log_3{x} = 4 \)، فأوجد قيمة \( x \).
مناقشة:
بناءً على تعريف اللوغاريتم، يمكن إعادة كتابة \( \log_3{x} = 4 \) في شكل أسي:
\[
3^4 = x
\]
حساب (3^4):
\[
3 ^ 4 = 81
\]
إذن، قيمة \( x \) هي 81.
3. السؤال السابع:
المعادلة المعطاة هي: \( \log_{10}{x} = -2 \). أوجد قيمة \( x \).
مناقشة:
حوّل الصيغة اللوغاريتمية إلى الصيغة الأسية:
\[
10⁻² = x
\]
حساب \(10^{-2}\):
\[
١٠⁻² = ١/١٠² = ١/١٠٠ = ٠٫٠١
\]
إذن، قيمة \( x \) هي 0.01.
4. السؤال السابع:
أوجد قيمة \( \log_5{(125 \cdot 25)} \).
مناقشة:
نعلم أن 125 = 5^3 و 25 = 5^2. إذن:
\[
\log_5{(125 \cdot 25)} = \log_5{(5^3 \cdot 5^2)}
\]
بناءً على خصائص حاصل ضرب اللوغاريتمات:
\[
\log_5{(5^3 \cdot 5^2)} = \log_5{5^5}
\]
استخدام خصائص القوى اللوغاريتمية:
\[
log₅ 5⁵ = 5 ⋅ log₅ 5
\]
بما أن \(\log_5{5} = 1\):
\[
5 \cdot 1 = 5
\]
إذن، قيمة \( \log_5{(125 \cdot 25)} \) هي 5.
5. السؤال السابع:
أوجد قيمة \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \).
مناقشة:
نعلم أن \(8 = 2^3\) و \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\). إذن:
\[
\log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} = \log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})}
\]
بناءً على خصائص حاصل ضرب اللوغاريتمات:
\[
\log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})} = \log_{2}{(2^{3 + 1/2})} = \log_{2}{(2^{3.5})}
\]
استخدام خصائص القوى اللوغاريتمية:
\[
\log_{2}{(2^{3.5})} = 3.5 \cdot \log_{2}{2}
\]
بما أن \(\log_{2}{2} = 1\):
\[
3.5 \cdot 1 = 3.5
\]
إذن، قيمة \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) هي 3.5.
6. السؤال السابع:
إذا كان \( \log_4{y} – \log_4{2} = 3 \)، فأوجد قيمة \( y \).
مناقشة:
بناءً على خصائص حاصل القسمة اللوغاريتمي:
\[
\log_4{(\frac{y}{2})} = 3
\]
تحويل الصيغة اللوغاريتمية إلى الصيغة الأسية:
\[
4^3 = \frac{y}{2}
\]
حساب (4^3):
\[
4 ^ 3 = 64
\]
لذا:
\[
64 = \frac{y}{2}
\]
لذا:
\[
ص = 64 × 2 = 128
\]
إذن، قيمة \( y \) هي 128.
7. السؤال السابع:
أوجد قيمة \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \).
مناقشة:
نعلم أن 36 = 6². إذن:
\[
\log_{6}{\frac{1}{36}} = \log_{6}{(6^{-2})}
\]
استخدام خصائص القوى اللوغاريتمية:
\[
\log_{6}{(6^{-2})} = -2 \cdot \log_{6}{6}
\]
بما أن \(\log_{6}{6} = 1\):
\[
-2 × 1 = -2
\]
إذن، قيمة \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) هي -2.
استنتاج
تُعدّ اللوغاريتمات أداة رياضية بالغة الأهمية في العديد من التطبيقات العلمية والهندسية. فهم الخصائص الأساسية للوغاريتمات يُسهّل حلّ العديد من المسائل. تُقدّم هذه المقالة عرضًا لعدد من المسائل وتناقش اللوغاريتمات التي تظهر بشكل متكرر في سياقات مختلفة. إنّ ممارسة هذه المفاهيم وفهمها يُساعدان بشكل كبير في إتقان موضوع اللوغاريتمات.
