የጠፍጣፋ ፕላን አካባቢን በማስላት ረገድ የንጥረ ነገሮች አተገባበር ምሳሌዎች ጥያቄዎች እና ውይይት
በሂሳብ ትምህርት፣ ውህደቶች ብዙውን ጊዜ በካልኩለስ ውስጥ ይገኛሉ። የውህደቶች በጣም ከሚታወቁት አፕሊኬሽኖች አንዱ በከርቭ ወይም ፕላን ስር ያለውን ቦታ ማስላት ነው። ይህ ጽሑፍ በርካታ የምሳሌ ችግሮችን ያብራራል እና የፕላን ስፋትን ለማስላት የውህደቶችን አተገባበር ያብራራል።
የቲዎሪ መግቢያ
ወደ ምሳሌው ችግር ከመቀጠልዎ በፊት፣ ውህደቶችን በመጠቀም ከኩርባው ስር ያለውን ቦታ የማስላት መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ እንከልስ። በ[a, b] ክፍተት ላይ ቀጣይነት ያለው የf(x) ተግባር ካለን፣ ከ x = a እስከ x = b ያለው y = f(x) ከኩርባው በታች ያለው ቦታ፡
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
በጂኦሜትሪክ አገላለጽ፣ ይህ ማለት ከ x = a እስከ x = b ድረስ በጣም ቀጭን የሆነ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስፋት እያጠቃለልን ነው ማለት ነው።
ምሳሌ ጥያቄ 1
ጥያቄ
በ [1፣ 3] ክፍተት ውስጥ ባለው ኩርባ ስር ያለውን y = x² ስፋት አስሉ።
ውይይት
ቦታውን ለማስላት፣ ውህደቱን እንጠቀማለን፦
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
የ\(x^2 \) ፀረ-ውጤት አድራጊን በማግኘት እንጀምራለን። የ\(x^2 \) ፀረ-ውጤት አድራጊ \( \frac{x^3}{3} \) ነው። ከዚያም ውህዱ፦
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
አንቲዲሪቬቲቭን በ integral ገደቦች ላይ መገምገም እንዳለብን ያስታውሱ፡
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
ስለዚህ፣ ከ x = 1 እስከ x = 3 ባለው ኩርባ ስር ያለው y = x² ስፋት፡
\[ \frac{26}{3} \, \text{area unit} \]
ምሳሌ ጥያቄ 2
ጥያቄ
በ y = x³ ኩርባ እና በመስመሮች x = 1 እና x = 2 የተገደበውን የክልል ስፋት ይወስኑ።
ውይይት
ቦታውን ለማስላት፣ ውህደቱን እንጠቀማለን፦
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
እንደተለመደው፣ የ\(x^3 \) ፀረ-ውጤት አድራጊን በማግኘት እንጀምራለን። የ\(x^3 \) ፀረ-ውጤት አድራጊ \( \frac{x^4}{4} \) ነው። ውህዱ የሚሆነው፦
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
የውህደቱን ገደቦች ገምግም፦
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
ስለዚህ፣ ከ x = 1 እስከ x = 2 ባለው ኩርባ ስር ያለው y = x³ የሚከተለው ነው፡
\[ \frac{15}{4} \, \text{area unit} \]
ምሳሌ ጥያቄ 3
ጥያቄ
በ x = 0 እስከ x = 1 ባለው ክፍተት ውስጥ በ y = x² + 1 እና y = 2x + 2 የተገደበውን የክልል ስፋት ይወስኑ።
ውይይት
በመጀመሪያ፣ የውህደቱን ገደቦች ለመወሰን የመገናኛ ነጥቦችን ማግኘት አለብን። ለ\( x^2 + 1 = 2x + 2 \) መፍትሄው፡
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
የኳድራቲክ ፎርሙላን በመጠቀም፦
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
ሆኖም ግን፣ በ0 እና 1 መካከል ላሉት የላይኛው እና የታችኛው ገደቦች፣ የኳድራቲክ መፍትሄን መጠቀም አያስፈልገንም፣ ከ0 እስከ 1 ያለውን ተራ የተዋሃደ ገደብ ብቻ። በመቀጠል፣ የላይኛውን y ኩርባ ስፋት ሲቀነስ የታችኛውን y ኩርባ በእነዚህ ገደቦች መሠረት ያሰሉ፡
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
የተግባር ማቃለል፡
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
ቀጥሎ፣ ፀረ-ተውሳክውን እናገኛለን፡
የ\((-x^2) \) ፀረ-ውጤት \( -\frac{x^3}{3} \) ነው፣
የ\((2x) \) ፀረ-ውጤት \(x^2 \) ነው፣
የ\((1) \) ፀረ-ውጤት \(x \) ነው።
ስለዚህ፣
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
የሚቀጥለው ግምገማ፡
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
ስለዚህ፣ በ[0, 1] ክፍተት ላይ በy = x² + 1 እና y = 2x + 2 የተገደበው የክልሉ ስፋት፡
\[ \frac{5}{3} \, \text{area unit} \]
-
ከላይ ከተጠቀሱት ምሳሌዎች፣ ውህደቶች በኩርባ ስር ያለውን ቦታ ወይም በሁለት ኩርባዎች መካከል ያለውን ቦታ ለማስላት እንዴት ጥቅም ላይ ሊውሉ እንደሚችሉ ማየት እንችላለን። የውህደቶች መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦችን እና ፀረ-ውህደታዊ ቴክኒኮችን በአግባቡ በመረዳት፣ እነዚህን አካባቢዎች ማስላት በጣም ስልታዊ እና ቀልጣፋ ይሆናል። ይህ ጽሑፍ በእውነተኛው ዓለም ውስጥ የውህደቶች አተገባበርን በተመለከተ ያለንን ግንዛቤ ጨምሯል ብለን ተስፋ እናደርጋለን፣ በተለይም የፕላን ወለል ስፋትን በመለካት መስክ።
