በመደበኛ ስርጭት ላይ ስለሚጠበቀው ዋጋ የውይይት ጥያቄ ምሳሌ
መደበኛው ስርጭት፣ እንዲሁም የጋውሲያን ስርጭት በመባልም የሚታወቀው፣ በስታቲስቲክስ እና ፕሮባቢሊቲ ውስጥ በብዛት ጥቅም ላይ ከሚውሉት ቀጣይነት ያላቸው የፕሮባቢሊቲ ስርጭቶች አንዱ ነው። ይህ ስርጭት ብዙውን ጊዜ በተለያዩ የስታቲስቲክስ ግምቶች ውስጥ እንደ መሰረታዊ ግምት ጥቅም ላይ ይውላል፣ ለምሳሌ ሲሜትሪ እና በአማካይ (µ) እና መደበኛ መዛባት (σ) ባለው ፓራሜራይዜሽን ውስጥ ያለው ልዩነቱ። ይህ ጽሑፍ ምሳሌዎችን ያብራራል እና የዚህን ፅንሰ-ሀሳብ ጥልቅ ግንዛቤ ለመስጠት የመደበኛ ስርጭትን የሚጠበቀውን ዋጋ ያብራራል።
መደበኛ ስርጭትን መረዳት
መደበኛው ስርጭት በሲሜትሪካል ደወል ኩርባ የተመሰለ ሲሆን አብዛኛዎቹ እሴቶች በመካከለኛው እሴት ወይም በአማካይ ዙሪያ ያተኮሩ ናቸው። በዚህ ስርጭት ውስጥ፣ አማካኝ (µ) እና መደበኛ መዛባት (σ) በውሂቡ ውስጥ ያለውን ቦታ እና ስርጭት መጠን የሚወስኑ ሁለት አስፈላጊ መለኪያዎች ናቸው።
የመደበኛው ስርጭት የፕሮባቢሊቲ ጥግግት ተግባር (PDF) የሚከተለው ነው፦
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
የት፡
– \( \mu \) አማካይ ወይም አማካይ ነው
– \( \sigma \) መደበኛ መዛባት ነው
– \( x \) የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው
በመደበኛ ስርጭት ውስጥ የሚጠበቀው እሴት
ከመደበኛ ስርጭት ጋር የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሚጠበቀው እሴት ከስርጭቱ አማካኝ ጋር እኩል ነው። \( X \sim N(\mu፣ \sigma^2) \) ከሆነ የሚጠበቀው እሴት \( E(X) \) እንደሚከተለው ነው፡
\[ E(X) = \mu \]
ግንዛቤያችንን ለማጠናከር በመደበኛ ስርጭቶች ውስጥ ስለሚጠበቁ እሴቶች አንዳንድ የችግሮች ምሳሌዎችን እንቀጥል።
የናሙና ጥያቄዎች እና ውይይቶች
ምሳሌ ጥያቄ 1፡
እንበል \( X \) በተለምዶ የሚሰራጭ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከ \( \mu = 50 \) እና \( \sigma = 10 \) ጋር። የሚጠበቀውን የ \( X \) እሴት አስሉ።
ውይይት፡
ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው፣ በመደበኛ ስርጭት፣ የሚጠበቀው እሴት \( E(X) \) ከ \( \mu \) ጋር እኩል ነው። ስለዚህ፣
\[ E(X) = \mu = 50 \]
ምሳሌ ጥያቄ 2፡
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ \( Y \) በተለምዶ በ \( \mu = 120 \) እና \( \sigma = 15 \) ይሰራጫል። የሚጠበቀውን የ \( Y \) እሴት ያግኙ።
ውይይት፡
ልክ እንደ መጀመሪያው ምሳሌ፣ የሚጠበቀው የ\(Y \) እሴት የመደበኛ ስርጭት መካከለኛ እሴት ወይም አማካኝ ነው፣ ይኸውም፦
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
ምሳሌ ጥያቄ 3፡
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ \( Z \) ከ \( \mu = 0 \) እና \( \sigma = 1 \) (መደበኛ መደበኛ ስርጭት) ጋር መደበኛ ስርጭትን የሚከተል ከሆነ፣ የ \( Z \) የሚጠበቀው እሴት ስንት ነው?
ውይይት፡
መደበኛው መደበኛ ስርጭት አማካይ \( \mu = 0 \) አለው፣ ስለዚህ የሚጠበቀው እሴት \( E(Z) \) የሚከተለው ነው፡
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
ምሳሌ ጥያቄ 4፡
እንበል \( W \) በተለምዶ የሚከፋፈል የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሲሆን አማካይ \( \mu = 75 \) እና መደበኛ መዛባት \( \sigma = 20 \) አለው። አዲስ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ \( V = 2W + 3 \ ብንገልጽ፣ የ \( V \) የሚጠበቀው እሴት ስንት ነው?
ውይይት፡
የሚጠበቀውን የ\(V \ እሴት ለማግኘት፣ የሚጠበቀውን እሴት መስመራዊ ባህሪ መጠቀም አለብን። የተሰጠው \(V = 2W + 3 \)፣ ከዚያ፡
\[ ኢ(ቪ) = ኢ(2ወ + 3) \]
በሚጠበቀው እሴት መስመራዊ ባህሪ ላይ በመመስረት፣ ቋሚውን ከዘፈቀደ ተለዋዋጭ መለየት እንችላለን፡
\[ ኢ(ቪ) = 2ኢ(ወ) + ኢ(3) \]
የአንድ ቋሚ የሚጠበቀው እሴት ቋሚው ራሱ መሆኑን ማወቅ፡
\[ E(3) = 3 \]
እና የሚጠበቀው የ\( W \) እሴት የመደበኛ ስርጭት \( W \) አማካኝ ነው፡
\[ E(W) = \mu = 75 \]
ስለዚህ፣
\[ E(V) = 2 \ ጊዜ 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ ኢ(ቪ) = 153 \]
ምሳሌ ጥያቄ 5፡
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ \(Q \) አማካይ \( \mu = 40 \) እና መደበኛ መዛባት \( \sigma = 5 \) ያለው መደበኛ ስርጭት ይከተላል። የ \(Q \) እሴት የሚጠበቀው እሴት \[U = Q/2 \] ከሆነ ስንት ነው?
ውይይት፡
በምሳሌ 4 ላይ እንዳለው ተመሳሳይ መርህ እንጠቀማለን፣ ማለትም የሚጠበቀው እሴት መስመራዊ ባህሪ። \( U = Q/2 \)፣ ከዚያ በኋላ፡
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
በሚጠበቀው እሴት መስመራዊ ባህሪ ላይ በመመስረት፡
\[ ኢ(ዩ) = \frac{1}{2} ኢ(ኪው) \]
የሚጠበቀው የ\(Q\) እሴት የመደበኛ ስርጭት \(Q\) አማካኝ መሆኑን እናውቃለን፡
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
ስለዚህ፣
\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
ከሲምፑላን
በመደበኛ ስርጭት ውስጥ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሚጠበቀው እሴት ሁልጊዜ ከስርጭቱ አማካይ (µ) ጋር እኩል ነው። ከላይ ያሉት የምሳሌ ችግሮች መስመራዊ ባህሪን በመጠቀም የሚጠበቀውን እሴት ለማስላት የተለያዩ ሁኔታዎችን ያሳያሉ። ይህንን መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ መረዳት በስታቲስቲክስ እና በዕድል ውስጥ የተለመዱ የስርጭት ችግሮችን በቀላሉ ለመፍታት ያስችላል።
መደበኛው ስርጭት በስታቲስቲክስ ውስጥ ወሳኝ ነው ምክንያቱም በተለያዩ ተግባራዊ አፕሊኬሽኖች ውስጥ ጥቅም ላይ ስለሚውል፣ ይህም መላምት ሙከራን፣ የፓራሜትር ግምትን እና ሌሎች የተለያዩ የስታቲስቲክስ ግምቶችን ያካትታል። የዚህ ስርጭት የሚጠበቀውን ዋጋ በደንብ መረዳት በመረጃ ትንተና ውስጥ አስፈላጊ የመጀመሪያ እርምጃ ነው።
ይህ ጽሑፍ በመደበኛ ስርጭት ውስጥ ስለሚጠበቀው እሴት ግልጽ እና ጠቃሚ ማብራሪያ እንዲሁም ተዛማጅ የምሳሌ ጥያቄዎች እና ውይይቶችን እንደሚያቀርብ ተስፋ እናደርጋለን።
