ተግባራትን ስለማሳደግ፣ ተግባራትን ስለማሳነስ እና ስለ ቋሚ ተግባራት ምሳሌዎች እና ውይይቶች
የሂሳብ ተግባራት በጥልቀት የሚዳስሱ እና በተለያዩ ባህሪያት የተሞሉ ናቸው፣ ከእነዚህም ውስጥ አንዱ እየጨመረ፣ እየቀነሰ ወይም ቋሚ ሁኔታዎችን እንዴት መተንተን እንደሚቻል ነው። አንድ ተግባር በተወሰነ የጊዜ ክፍተት እየጨመረ፣ እየቀነሰ ወይም ቋሚ መሆኑን ማወቅ በተለያዩ የሂሳብ አተገባበሮች ውስጥ ወሳኝ ነው፣ ለምሳሌ ኢኮኖሚክስ፣ ፊዚክስ እና ምህንድስና። ይህ ጽሑፍ ከማሳደግ፣ ከመቀነስ እና ከቋሚ ተግባራት ጋር የተያያዙ ምሳሌዎችን እና ውይይቶቻቸውን ይሸፍናል።
የሚጨምሩ ተግባራት፣ የሚቀንሱ ተግባራት እና የማይንቀሳቀሱ ተግባራት ምንድናቸው?
1. ተግባርን ማሳደግ፡- አንድ ተግባር \(f(x) \) በ \(x_1 \) ውስጥ ለእያንዳንዱ \(x_1 \) እና \(x_2 \) በ \(x_1 < x_2 \) ውስጥ ከሆነ በአንድ ክፍተት ላይ እየጨመረ እንደሆነ ይነገራል፣ \(f(x_1) \leq f(x_2) \) አለን። 2. ተግባርን መቀነስ፡- በተቃራኒው፣ አንድ ተግባር \(f(x) \) በ ክፍተት ላይ ለእያንዳንዱ \(x_1 \) እና \(x_2 \) በ \(I \) ውስጥ ካለው \(x_1 < x_2 \) ጋር እንደሚቀንስ ይነገራል፣ \(f(x_1) \geq f(x_2) \) አለን። 3. የጽህፈት ተግባር፡- አንድ ተግባር \(f(x) \) በ \(I \) ውስጥ ላለ እያንዳንዱ \(x \) ከሆነ፣ ተግባሩ ተመሳሳይ እሴት አለው፣ ማለትም \(f(x) = c \) በ \(I \) ውስጥ ላለ እያንዳንዱ \(x \)፣ c ቋሚ የሆነበት። ምሳሌ ጥያቄ 1፡- እየጨመረ የሚሄድ ተግባር የጊዜ ክፍተትን መወሰን ተግባር \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \) ግምት ውስጥ በማስገባት። ተግባሩ እየጨመረ የሚሄድበትን ክፍተት ይወስኑ! ውይይት፡- ተግባሩ እየጨመረ የሚሄድበትን ክፍተት ለመወሰን፣ የተግባሩን የመጀመሪያ ተዋጽኦ ማግኘት እና ከዚያም የተወስነውን ምልክት መተንተን ያስፈልገናል። 1. ደረጃ 1፡ የመጀመሪያውን ተዋጽኦ ያግኙ፡ \[f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. ደረጃ 2፡ ወሳኝ ነጥቦችን ይወስኑ፡ ወሳኝ ነጥቦች የመጀመሪያው ተዋጽኦ ዜሮ ወይም ያልተገለጸባቸው ነጥቦች ናቸው። \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] ሙሉውን እኩልታ በ6 ይከፋፍሉት፡ \[ x^2 - x - 2 = 0 \] ይህንን የኳድራቲክ እኩልታ እናስባለን፡ \[ (x-2)(x+1) = 0 \] ስለዚህ፣ ወሳኝ ነጥቦች \( x = 2 \) እና \( x = -1 \) ናቸው። 3. ደረጃ 3፡ በወሳኝ ነጥቦች በተፈጠረው ክፍተት ላይ የመጀመሪያውን ተዋጽኦ ምልክት ይወስኑ፡ በክፍተቶቹ \((-\infty, -1) \), \(-1, 2) \), እና \( (2, \infty) \) ላይ ለ \( f'(x) \) የምልክት ሰንጠረዥ እንፈጥራለን። - ለ \( x \in (-\infty, -1) \): ውሰድ \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] ምክንያቱም \( f'(-2) > 0 \), ከዚያ \( f(x) \) በክፍተቱ \( (-\infty, -1) \) ላይ እየጨመረ ነው።
– ለ\( x \in (-1, 2) \): ውሰድ \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\( f'(0) < 0 \) ስለሆነ፣ \( f(x) \) በክፍተቱ ላይ እየቀነሰ ነው። \(-1, 2) \)። - ለ \( x \in (2, \infty) \): ውሰድ \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] \( f'(3) > 0 \)፣ ከዚያ \( f(x) \) በክፍተቱ ላይ እየጨመረ ነው። \(2, \infty) \)።
ስለዚህ፣ ተግባር \(f(x) \) በክፍተቱ \((-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) ላይ እየጨመረ ነው።
ምሳሌ ችግር 2፡ የሚቀንስ የተግባር ክፍተትን መወሰን
ተግባሩ \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) ተሰጥቶታል። ተግባሩ የሚቀንስባቸውን ክፍተቶች ይወስኑ!
ውይይት፡
1. ደረጃ 1፡ የመጀመሪያውን ተዋጽኦ ያግኙ፡
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. ደረጃ 2፡ ወሳኝ የሆነውን ነጥብ ይወስኑ፡
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
ስለዚህ ወሳኝ ነጥቦቹ \( x = 0 \) እና \( x = \frac{3}{2} \) ናቸው።
3. ደረጃ 3፡ በክፍተቱ ላይ የመጀመሪያውን ተዋጽኦ ምልክት ይወስኑ፡
– ለ\( x \in (-\infty, 0) \): ውሰድ \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
ምክንያቱም \( g'(-1) < 0 \)፣ ከዚያ \( g(x) \) በክፍተቱ ላይ እየቀነሰ ነው \(-\infty, 0) \)። - ለ \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): ይውሰዱ \( x = 1 \) \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] ምክንያቱም \( g'(1) < 0 \)፣ ከዚያ \( g(x) \) በክፍተቱ ላይ እየቀነሰ ነው \(0, \frac{3}{2}) \)። - ለ \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): ውሰድ \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] \( g'(2) > 0 \) ስለሆነ፣ \( g(x) \) በክፍተቱ ላይ እየጨመረ ነው። \(\frac{3}{2}, \infty) \).
ስለዚህ፣ ተግባር \( g(x) \) በክፍተቱ \((-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) ላይ ይቀንሳል።
ምሳሌ ጥያቄ 3፡ በእረፍት ጊዜ የአንድ ተግባር የጊዜ ክፍተት መወሰን
ተግባሩን \( h(x) = 7 \) ከግምት ውስጥ በማስገባት፣ ተግባሩ የማይንቀሳቀስበትን ክፍተቶች ይወስኑ!
ውይይት፡
እንደ \( h(x) = 7 \) ያለ ቋሚ ተግባር ለሁሉም \( x \) ዜሮ የሆነ የመጀመሪያ ተዋጽኦ አለው፡
\[ h'(x) = 0 \]
የመጀመሪያው ተዋጽኦ ሁልጊዜ ዜሮ ስለሆነ፣ ተግባሩ በጠቅላላው ጎራ ላይ የማይንቀሳቀስ ነው፣ ስለዚህ ተግባር \( h(x) = 7 \) በሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ላይ የማይንቀሳቀስ ነው ማለት እንችላለን፣ ይህም በክፍተት ኖቴሽን ውስጥ \( (-\infty፣ \infty) \) ነው።
ከሲምፑላን
የአንድ ተግባር መጨመር፣ መቀነስ እና የማይንቀሳቀሱ ሁኔታዎችን መረዳት የተግባራዊ ትንተና አስፈላጊ አካል ነው። ከላይ በተጠቀሱት ምሳሌዎች፣ እነዚህን ክፍተቶች ለማግኘት የሚያስፈልጉትን መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦች እና ደረጃዎች ሸፍነናል። ይህ እውቀት በተለያዩ የሂሳብ ተግባራዊ እና ቲዎሬቲካል አተገባበሮች እጅግ በጣም ጠቃሚ ነው።
