እርስ በእርስ የማይነጣጠሉ ሁለት ክስተቶችን ሀ እና ለ ለመጨመር በደንቡ ላይ የውይይት ጥያቄ ምሳሌ።

እርስ በእርስ የማይነጣጠሉ ሁለት ክስተቶች ሀ እና ለ የመደመር ደንብን የሚመለከቱ የምሳሌ ጥያቄዎች

ፔንዳሁሉአን

በዕድል ረገድ፣ መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦችን እና አተገባበራቸውን መረዳት ወሳኝ ነው። በተደጋጋሚ የሚነሳ አንድ ፅንሰ ሀሳብ የዕድል መደመር ህግ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ ለሁለት ያልተገለሉ ክስተቶች የመደመር ህግን በጥልቀት እንመረምራለን። ያልተገለሉ ክስተቶች የሚከሰቱት ሁለት ክስተቶች አንድ ሊሆን የሚችል አካል ሲጋሩ ወይም በሌላ አነጋገር ሁለቱም ክስተቶች በአንድ ጊዜ ሊከሰቱ ሲችሉ ነው። ግንዛቤን ለማመቻቸት፣ የምሳሌ ችግርን እና ማብራሪያውን እንመልከት።

መሰረታዊ ቲዎሪ

ሁለት እርስ በእርስ የማይነጣጠሉ ክስተቶች A እና B ካሉን፣ የክስተት A ወይም B እድልን ለማስላት የሚደመር ደንብ እንደሚከተለው ሊገለጽ ይችላል፡

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]

እዚህ፡
– \( P(A \cup B) \) A ወይም B (ወይም ሁለቱም) የመከሰት እድሉ ነው።
– \( P(A) \) ክስተት A የመከሰት እድሉ ነው።
– \( P(B) \) ክስተት B የመከሰት እድሉ ነው።
– \( P(A \cap B) \) A እና B በአንድ ጊዜ የመከሰት እድሉ ነው።

የችግሮች ምሳሌ

ጥያቄ 1፡ በአንድ ትምህርት ቤት ውስጥ 70% የሚሆኑ ተማሪዎች እግር ኳስ መጫወት (ክስተት ሀ) ይወዳሉ፣ 40% የሚሆኑት ተማሪዎች የቅርጫት ኳስ መጫወት ይወዳሉ (ክስተት ለ)፣ እና 20% የሚሆኑት ተማሪዎች ሁለቱንም ስፖርቶች መጫወት ይወዳሉ። አንድ ተማሪ እግር ኳስ ወይም የቅርጫት ኳስ መጫወት የሚወደው እድል ምን ያህል ነው?

ውይይት፡

የሚታወቀው፦
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)

ሁለት እርስ በርስ የሚጋጩ ክስተቶችን የመጨመር ደንብን መጠቀም፡

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \cup B) = 0.90 \]

ስለዚህ፣ አንድ ተማሪ እግር ኳስ ወይም የቅርጫት ኳስ መጫወት የመምረጥ እድሉ 0.90 ወይም 90% ነው።

ጥያቄ 2፡ በአንድ ጥናት፣ 35% የሚሆኑት ምላሽ ሰጪዎች ቡና (ክስተት ሀ) ይወዳሉ፣ 50% የሚሆኑት ምላሽ ሰጪዎች ሻይ (ክስተት ለ) ይወዳሉ፣ እና 10% የሚሆኑት ምላሽ ሰጪዎች ሁለቱንም ይወዳሉ። ምላሽ ሰጪዎች ቡና ወይም ሻይ የመውደዳቸው እድል ምን ያህል ነው?

ውይይት፡

የሚታወቀው፦
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)

ሁለት እርስ በርስ የሚጋጩ ክስተቶችን የመጨመር ደንብን መጠቀም፡

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \cup B) = 0.75 \]

ስለዚህ፣ ምላሽ ሰጪው ቡና ወይም ሻይ የመውደዱ እድል 0.75 ወይም 75% ነው።

ጥያቄ 3፡ ከስታቲስቲክስ መረጃዎች በመነሳት፣ 60% የሚሆኑ ሰዎች መጽሐፍትን ማንበብ (ክስተት ሀ)፣ 30% የሚሆኑ ሰዎች ፊልም ማየት (ክስተት ለ) እና 15% የሚሆኑት ሰዎች ሁለቱንም ማድረግ እንደሚወዱ ይታወቃል። አንድ ሰው መጽሐፍትን ማንበብ ወይም ፊልም ማየት የመወደድ እድሉ ስንት ነው?

ውይይት፡

የሚታወቀው፦
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)

ሁለት እርስ በርስ የሚጋጩ ክስተቶችን የመጨመር ደንብን መጠቀም፡

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \cup B) = 0.75 \]

ስለዚህ፣ አንድ ሰው መጽሐፍትን ማንበብ ወይም ፊልሞችን መመልከት የመወደድ እድሉ 0.75 ወይም 75% ነው።

ጥያቄ 4፡ በአንድ ምግብ ቤት ውስጥ በተደረገ ጥናት፣ 55% የሚሆኑ ደንበኞች ፒዛ (ክስተት ሀ) አዘዙ፣ 35% የሚሆኑ ደንበኞች ፓስታ (ክስተት ለ) አዘዙ፣ እና 20% የሚሆኑ ደንበኞች ሁለቱንም አዘዙ። ደንበኛ ፒዛ ወይም ፓስታ የማዘዝ እድሉ ስንት ነው?

ውይይት፡

የሚታወቀው፦
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)

ሁለት እርስ በርስ የሚጋጩ ክስተቶችን የመጨመር ደንብን መጠቀም፡

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \cup B) = 0.70 \]

ስለዚህ፣ ደንበኛ ፒዛ ወይም ፓስታ የማዘዝ እድሉ 0.70 ወይም 70% ነው።

ከሲምፑላን

ፕሮባቢሊቲ በማጥናት፣ ሁለት ያልተለዩ ክስተቶች A እና B የመደመር ደንብ አንድ ወይም ሁለቱም ክስተቶች በአንድ ጊዜ የመከሰት እድልን ለመወሰን በጣም አስፈላጊ ነው። ቀመሩን \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) መጠቀም መገናኛ ወይም የጋራ አካል ያላቸው ሁለት ክስተቶች የጋራ እድልን ለማስላት ቀላል ያደርገዋል።

ከላይ ባሉት ምሳሌዎች፣ የዚህን ስሌት መሰረታዊ ደረጃዎች መረዳት በትምህርት፣ በዳሰሳ ጥናቶች ወይም በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ በተለያዩ ሁኔታዎች ውስጥ ተግባራዊ ለማድረግ እንደሚያስችለን ማየት እንችላለን። የትኞቹ ክስተቶች እንደሚጋሩ በመለየት ረገድ ግልጽነት እና ትክክለኛነት ዕድልን በትክክል ለማስላት ወሳኝ ናቸው። ስለዚህ፣ ወጥ የሆነ ልምምድ እና የመሠረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦችን መረዳት ይህንን ርዕስ ለመቆጣጠር በእጅጉ ይረዳሉ።