Projektiel beweging

Artikel oor die projektielbeweging en voorbeeldprobleme met oplossings

Aanvanklike snelheid (v_o) en die komponente van die beginsnelheid (v_ox en v_oy)

'n Voorwerp waarvan die paraboliese bewegings altyd 'n aanvanklike spoed het. Omdat paraboliese beweging 'n kombinasie van bewegings in die horisontale en vertikale rigtings is, het die aanvanklike snelheid ook horisontale en vertikale komponente.

As die voorwerp parabolies beweeg soos in Figure 1 en 3, word die beginsnelheid in die horisontale rigting (v _ox ) en die beginsnelheid in die vertikale rigting (v _oy ) bereken met behulp van die vergelyking:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

As die voorwerp parabolies beweeg soos figuur 2, dan is v _o = v _ox (v _oy = 0)

Snelheid (v_x en v_y) en Posisie (x en y)

Die spoed in die horisontale en vertikale rigtings oor 'n sekere tydsinterval word bereken met behulp van die vergelyking:

v _x = v _ox = konstant ( uniforme lineêre beweging )

v _y = v _oy + gt of v _y ² = v _oy ² + 2 gh (vryvalbeweging)

Die posisie van voorwerpe in die horisontale (x) en vertikale (y) rigtings oor 'n sekere tydsinterval word bereken met behulp van die vergelyking:

x = v _ox t

y = v _oyt + 1⁄2 ^gt²

Resultaat van snelheid (v) en posisie (h)

Die resulterende snelheid by 'n gespesifiseerde tydsinterval word bereken met behulp van die vergelyking:

Die rigting van voorwerpe oor 'n sekere tydsinterval word bereken deur die vergelyking te gebruik:

Notas:

1. Die horisontale komponent van paraboliese beweging word beskou as die uniforme lineêre beweging, dus is vox = vx altyd konstant.

2. Die vertikale komponent van paraboliese beweging word beskou as die vryvalbeweging, so as die voorwerp parabolies beweeg, soos in Figure 1 en 3, is die vertikale komponent van die snelheid van die voorwerp op maksimum hoogte nul (v _y = 0). As jy 'n albaster regop opwaarts gooi op 'n maksimum hoogte, rus die voorwerp vir 'n oomblik (v _y = 0) voordat dit afwaarts draai. Daarom is die spoed van die voorwerp wat die paraboliese beweging op maksimum hoogte beweeg = v _x = v _ox

3. As die voorwerp parabolies beweeg soos getoon in Figuur 2, word die vertikale komponent van paraboliese beweging beskou as die vryvalbeweging. As die voorwerp parabolies beweeg soos Figure 1 en 3, word die vertikale komponent van paraboliese beweging beskou as die opwaartse vertikale beweging.

Voorbeeldprobleme:

1. 'n Koeël word in 'n horisontale rigting afgevuur met 'n beginspoed van 20 m/s. As die geweer 5 meter bo die grond is, bepaal:

(a) tyd in die lug

(b) die maksimum hoogte

(c) die horisontale afstand

(d) die spoed van die koeël wanneer dit die grond tref

Oplossing:

Beweging in die horisontale rigting word geanaliseer soos die uniforme lineêre beweging, terwyl beweging in die vertikale rigting geanaliseer word soos die vryvalbeweging.

Bekend:

v _oks = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tyd in die lug

Die oplossing is om die tydsinterval (t) in die vryvalbeweging te bepaal.

Bekend: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Gesoek: t

b) Die maksimum hoogte

Maksimum hoogte = h = 5 meter.

c) Horisontale afstand (d)

Die oplossing is soos om die afstand op die uniforme lineêre beweging te bepaal

Bekend: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekonde

Gesoek: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Spoed wanneer die koeël die grond tref

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _jy = ?

Eerstens bereken ons die finale spoed in die vertikale rigting (vty). Die oplossing is soos om die finale spoed van die vryvalbeweging te bepaal.

Bekend: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Gesoek: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt = 9.8 m/ _s

Die spoed van 'n koeël wanneer dit die grond tref:

Rigting van koeël:

Omdat v _tx in die rigting van die positiewe x-as (na regs) is en v _ty in die rigting van die negatiewe y-as (afwaarts) is,

Die rigting van die koeël wanneer dit die grond tref, is -26.1 ^° tot die positiewe x-as (sien figuur hieronder).

2. Die kanon het 'n koeël teen 'n hoek van 30 ^grade met die horisontaal en 'n spoed van 60 m/s afgevuur. Bepaal:

(a) die maksimum hoogte

(b) die spoed van die koeël op maksimum hoogte

(c) tyd in die lug

(d) die horisontale afstand

(e) die spoed van die koeël wanneer dit die grond tref. Veronderstel die grond is plat. 🙂

Oplossing:

Beweging in die horisontale rigting word geanaliseer soos die uniforme lineêre beweging, beweging in die vertikale rigting word geanaliseer soos die opwaartse vertikale beweging.

Bekend: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Gebaseer op bekende data, bereken ons eers die vertikale (v _oy ) en horisontale (v _ox ) komponente van die beginspoed (v _o ).

a) Die maksimum hoogte (h)

Die oplossing is soos om die maksimum hoogte op die opwaartse vertikale beweging te bepaal.

Bekend:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksimum hoogte (h)

Die oplossing is soos om die maksimum hoogte op die vertikale opwaartse beweging te bepaal.

Bekend:

v _oy = 30 m/s (dit is die aanvanklike spoed van die koeël)

v _ty = 0 m/s (Op die maksimum hoogte is die vertikale snelheid van die koeël = 0 m/s. Dit is die finale spoed.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Gesoek: h

vt² = ^v _{o² +} ² gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) uur

0 = 900 – 19.6 uur

900 = 19.6 uur

h = 900/19.6

h = 45.9 meter

Die maksimum hoogte wat deur die koeël bereik is = 45.9 meter.

b) Die spoed teen die maksimum hoogte

Op die maksimum hoogte is die spoed in die vertikale rigting = 0 m/s. Op die maksimum hoogte is daar slegs spoed in die horisontale rigting. Die spoed in die horisontale rigting op die maksimum hoogte is gelyk aan die aanvanklike snelheid in die horisontale rigting, wat 52.2 m/s is. Die rigting van snelheid in die horisontale rigting is altyd konstant, dit wil sê in die rigting van die positiewe x-as (as die beweging van 'n voorwerp in die diagram hierbo beskryf word).

c) Tyd in die lug

Die oplossing is soos om die tydsinterval (t) te bepaal in die bespreking van die vertikale opwaartse beweging.

Bekend:

v _oy = 30 m/s (dit is die aanvanklike spoed van die koeël in die vertikale rigting)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (wanneer die koeël na die grond terugkeer, is die verplasing van die koeël in die vertikale rigting = 0 m)

Gesoek: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekondes

Tyd in lug = 6.12 sekondes

d) Horisontale afstand (d)

Die oplossing is soos om die afstand (d) op die uniforme lineêre beweging te bepaal.

Bekend:

v _oks = 52.2 m/s

t = 6.12 sekondes

Gesoek: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekondes) = 319.5 m

e) Spoed wanneer die koeël die grond tref

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _jy = ?

Eerstens bereken ons die finale snelheid in die vertikale rigting (v _ty ). Die oplossing is om die finale spoed op die vertikale opwaartse beweging te bepaal.

Gewenste: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekondes

Gesoek: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

'n Negatiewe teken dui aan dat die rigting van die finale snelheid afwaarts is. Let daarop dat die aanvanklike snelheid in die vertikale rigting gelyk is aan die finale snelheid in die vertikale rigting.

Die spoed van die koeël wanneer dit die grond tref:

Die rigting van die koeël:

Aangesien v _tx in die rigting van die positiewe x-as (na regs) is en vty in die rigting van die negatiewe y-as (afwaarts) is,

Die rigting van die koeël se snelheid wanneer dit die grond tref, is -30 ^° om die positiewe x-as (sien figuur hieronder).

3. 'n Bal word vanaf die rand van 'n 50 meter hoë gebou gegooi met 'n beginspoed van 10 m/s. As die bal teen 30° om die horisontaal gegooi word, bepaal:

(a) die tydsinterval wat die bal die grond bereik

(b) die spoed van die bal wanneer dit die grond tref

(c) die horisontale afstand wat die bal kan bereik, word gemeet vanaf die rand van die gebou

(d) die maksimum hoogte wat die bal bereik

Oplossing:

Eers bereken ons die vertikale komponent (v _oy ) en die horisontale komponent (v _ox ) van die beginsnelheid (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Tydsinterval wat die bal die grond bereik

Die oplossing is soos om die tydsinterval (t) in 'n vertikale opwaartse beweging te bepaal. Die grootte van die vektor waarvan die rigting opwaarts is, word gekies om positief te wees, die grootte van die vektor waarvan die rigting afwaarts is, word gekies om negatief te wees. Die balposisie waar dit gegooi word, word as 'n verwysingspunt gekies. h is negatief omdat die grondoppervlak onder die verwysingspunt is, g is negatief omdat die rigting van swaartekragversnelling afwaarts is.

Bekend:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Gesoek: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Gebruik die kwadratiese formule:

Tyd in die lug = tydsinterval sedert die bal gegooi is om die grond te bereik = 1.64 sekondes.

b) Spoed van die bal wanneer dit die oppervlak van die grond tref

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _jy = ?

Eerstens bereken ons die finale spoed in die vertikale rigting (v _ty ). Die oplossing is soos om die finale spoed op die vertikale opwaartse beweging te bepaal.

Bekend: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekondes

Gesoek: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Die negatiewe teken dui aan dat die rigting van die finale snelheid afwaarts is.

Die spoed van die koeël wanneer dit die grond tref:

Die rigting van die koeël se spoed = die rigting van die koeël se beweging wanneer dit die grond tref:

Die spoed van die koeël wanneer dit die grond tref:

Omdat vtx in die rigting van die positiewe x-as (na regs) is en vty in die rigting van die negatiewe y-as (afwaarts) is,

Die rigting van die koeël wanneer dit die grond tref, is -52° om die positiewe x-as (sien figuur hieronder).

c) Die horisontale afstand wat die bal kan bereik, word gemeet vanaf die rand van die gebou.

Die oplossing is soos om die afstand (d) wat afgelê is op die uniforme lineêre beweging te bepaal.

Bekend: t = 1.64 sekondes, v _x = 8.7 m/s

Gesoek: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Die maksimum hoogte wat die bal bereik

Bekend: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikale komponent van die snelheid teen die maksimum hoogte = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Gesoek: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (u)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (u)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (u)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 meter

Die maksimum hoogte wat die bal bereik = 1.3 meter bo die bokant van die gebou = 1.3 m + 50 m = 51.3 meter bo die grondoppervlak.