努力和精力

如果你推動放在桌面上的一本書，直到書移動起來，那麼你就… 努力 書中指出，如果物體因為受到地球引力的作用而落到地球表面，那麼地球的引力就對這個物體做了功。反之，如果你使出渾身解數推一個物體，直到汗流浹背，但物體紋絲不動，那麼你並沒有對物體做功。在日常生活中，人們常說你推物體付出了努力或辛勤勞動，但根據… 物理你無需對物體做任何功，因為物體沒有發生位移。

對物體做功的力可以是恆力（力的大小和方向始終保持不變），也可以是變力（力的大小和方向總是改變）。例如，當物體位於地球表面附近時，其所受到的引力就是恆力。當物體在地球表面附近自由下落時，由於作用於物體的引力大小和方向恆定，因此物體的自由落體加速度的大小和方向也恆定不變。另一個例子是變力（力的方向恆定）。 彈簧力如果你拉伸彈簧，長度增加越多，拉伸的力就越大。彈簧所受力的大小並非恆定不變。另一個例子是火箭進入太空或返回地球表面。隨著火箭的運動，作用在其上的引力大小與它到地心的距離的平方成反比。

從數學角度來說，恆力對物體所做的功定義為位移與力的乘積，或者說是力在物體位移方向上的分量的乘積。

非恆力（例如彈簧）所做的功不能用恆力做功的公式來計算。如果彈簧被拉伸，隨著拉伸量的增加，拉伸彈簧所需的拉力也會增加。同樣，如果彈簧被壓縮，彈簧越緊，所需的推力也越大。只要彈簧處於壓縮或拉伸狀態，其彈性就會從 0 (x = 0) 變化到最大值 (F = kx)，因此彈力的計算需要使用平均值。

問題範例

1. 2018年全國統考題

質量為 m 的物塊位於光滑的水平面上。如圖所示，物塊靜止於位置 (1)，並在時間間隔 t 內受到力 F 的拉動而移動到位置 (2)。

透過改變質量和力，得到以下數據：

根據上表，物體由大到小所做的功依序為…

彭巴哈桑

我們都知道：

初始速度（v）_o）= 0

問：

答：

工作公式：

W = F s ………. 魯姆斯 1

GLBB 公式：

s = v_o t + 1/2 at²

s = 1/2²

替代 一級方程式賽車

W = F（1/2 在²）… 魯姆斯 2

力公式：

F = ma

a = F / m

替代 一級方程式賽車

W = 0,5 F (F/m) t²

W = 0,5 (F²/m) t² .......... 魯姆斯 3

使用公式 3 計算努力量。

1) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5 (3²/12)(4²) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6

2) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5 (4²/16)(3²) = (0,5)(16/16)(9) = (1) 4,5 = 4,5

3) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5 (5²/20)(2²) = (0,5)(25/20)(4) = (1,25) 2 = 2,5

4) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5 (6²/24)(1²) = (0,5)(36/24)(1) = (1,5) 0,5 = 0,75

從大到小，這些物體所做的功分別為 1、2、3、4。

2. 2017高中/職業高中全國統考題

一個質量為 6 公斤的箱子以 8 公尺/秒的速度滑動。^-1 在一個傾斜角度為 的粗糙斜面上 α 將箱子靠在平面上。若作用在箱子上的摩擦力為 5 N，且 tan θ 為 0.05。 如果 α = 3/4，那麼要使箱子停在斜面底部，必須施加的力 F 為…

A. 15 N

B. 25 N

C. 45 N

D. 55 北

東 69,4 北

彭巴哈桑

已知：

箱子的質量 (m) = 6 kg

重力加速度 (g) = 10 公尺/秒²²

箱子的初始速度（v）_o) = 8 公尺/秒

箱子的最終速度（v）_t) = 0 公尺/秒（箱子必須在到達斜面底部之前停止）

摩擦力（F） _滑動) = 5 牛頓

切線角 α = 前邊 / 底邊 = 3/4

斜邊 = 5 米

問： F

回答 ：

機械功-能定理：

非保守力所做的功 = 機械能的變化

非保守力所做的功 = 動能和位能的變化。

存在兩種非保守力，即動摩擦力和 F 力。

動摩擦力對箱子所做的功：

W = -(F_GES)(s) = -(5)(5) = -25

為負值，因為摩擦力的方向與箱子的運動方向相反。

力 F 所做的功：

W = (F)(s) = (F)(5) = -5F

結果為負，因為力 F 的方向與箱子的運動方向相反。

動能變化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (6)(0² - 8²) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192

重力位能的變化：

ΔEP = mgh = (6)(10)(-3) = -180

h 為負值，因為最終位置低於初始位置。

機械功-能定理：

W_nc = ΔEM

W_GES + W_F = ΔEP + ΔEK

-25 – 5F = -180 -192

-25 – 5F = -372

-5F = -372 + 25

-5°F = -347

F = -347 / -5

F = 69,4 牛頓

正確答案是 E。

3. 2017高中/職業高中全國統考題

如圖所示，質量為 10 kg 的物塊從 A 點沿著 B 點下滑，最後停在 C 點。物塊與粗糙表面之間的動摩擦係數為 0,2，因此物塊運動路徑 ABC 的長度為…

A. 250厘米

B. 200 厘米

C. 150 厘米

直徑 100 厘米

E. 80 厘米

彭巴哈桑

已知：

物塊質量 (m) = 10 kg

重力加速度 (g) = 10 公尺/秒²²

物體重量 (w) = mg = (10 kg)(10 m/s)²) = 100 牛頓

斜面高度 (h) = 30 公分 = 0,3 米

斜面長度 (s) = 50 公分 = 0,5 米

動摩擦係數（μ_k）= 0,2

動摩擦力（f）_k）= μ_k N= μ_k w = (0,2)(100 N) = 20 N

問： 路徑ABC的長度

回答 ：

考慮物體從AB點出發的運動。

A點的初始機械能 = 重力位能 = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 焦耳

B點的最終機械能 = 動能

機械能守恆定律：

初始機械能 = 最終機械能

30焦耳 = 動能

因此，B 點的動能為 30 焦耳。

考慮物體從 BC 點出發的運動。

功-機械能定理指出，非保守力所做的功等於物體機械能的變化。機械能的變化 = 末機械能 – 初機械能。數學表達式為：

W_NC = ΔEM

W_NC = EM₂ – EM₁

物體位於平面上，因此重力位能為零。機械能（EM）= 動能（EK）。

初始動能（EK）₁B點的動能 = 30焦耳

最終動能（EK）₂) = C 點的動能 = 0（滑塊停止）。

非保守力 BC 所做的功等於動摩擦力所做的功。

W_NC = – f_k s = – 20 秒

加迪

W_NC = EK₂ – EK₁

– 20秒 = 0 - 30

– 20 秒 = – 30

20秒=30

s = 30/20 = 3/2 = 1,5 公尺 = 1,5 x 100 公分 = 150 公分。

軌道 ABC 的長度 = 50 公分 + 150 公分 = 200 公分。

正確答案是 B。

4. 2014/2015學年高中/碩士物理全國統考題第8題

請看下圖！滑塊在一個粗糙的斜面上滑動，斜面的摩擦係數為 0,4。如果 g = 10 公尺/秒^-2 所以，當滑塊接觸斜面底部時，它的速度是…

一個2√5 毫秒^-1

二2√7 毫秒^-1

三2√14 毫秒^-1

D. 2√19 毫秒^-1

E.2√23 毫秒^-1

彭巴哈桑

看著下圖

已知：

初始高度（h）_o) = 6米

最終高度（h）_t) = 0米

初始速度（v）_o）= 0 （最初該方塊是靜止的）

動摩擦係數（μ_k) = 0,4 (滑塊滑動時，動摩擦係數（而非靜摩擦係數）起作用。)

重力加速度 (g) = 10 公尺/秒²^-2

車 θ 向下/傾斜 = 8/10

垂直方向的重量分量 = w_y = w cos θ = mg cos θ = m (10)(8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

法向力 = N = w_y = 8米

動摩擦力 = f_k = μ_k N= μ_k w_y = (0,4)(8 米) = 3,2 米

問： 最終速度（v）_t)

回答 ：

動能定理指出，非保守力對物體所做的功等於物體機械能的變化。動摩擦力就是非保守力的一個例子。

W_nc = ΔEM

W_nc = ΔEK+ ΔEP

備註：

W_nc = 非保守力量所做的工作， ΔEM = 機械能的變化量， ΔEK = 動能變化量 ΔEP = 位能變化。

動能變化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 m (v_t² - 0) = 1/2 mv_t²

位能變化：

ΔEP = mg (h_t - H_o) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 米

動摩擦力所做的功：

Wnc = – f_k s = – (3,2 米)(10) = – 32 米

因為動摩擦力做負功，所以它是負的，動摩擦力的方向（向上）與物體位移的方向（向下）相反。

計算末速度（v）。_t）：

Wnc = ΔEK+ ΔEP

-32 m = 1/2 毫伏_t² -60 m

-32 m = m (1/2 v_t² - 60）

- 32 = 1/2 v_t² - 60

–32 + 60 = 1/2 v_t²

28 = 1/2 v_t²

2 (28) = v_t²

56 = v_t²

v_t = √4.14

v_t = 2√14 毫秒^-1

正確答案是C。

5. 2014/2015學年高中/碩士物理全國統考題第8題

看看旁邊的圖片！

一個木塊沿著粗糙的斜面下滑，到達斜面底部時的速度為 10 公尺/秒。^-1若摩擦力為 2 N，g = 10 m/s²^-2那麼，h 的值為…

A. 10 米

B. 8 米

C. 6 米

D. 4 米

E. 2 米

彭巴哈桑

已知：

物塊質量 (m) = 1 kg

初始速度（v）_o）= 0 （最初該方塊是靜止的）

最終速度（v）_t) = 10 毫秒^-1

初始高度（h）_o) = h

最終高度（h）_t）= 0

動摩擦力（f）_k) = 2 牛頓

重力加速度 (g) = 10 公尺/秒²^-2

問： 高度（h）

回答 ：

動摩擦力所做的功：

Wnc = – f_k s = – (2)(15) = – 30

因為動摩擦力做負功，所以它是負的，動摩擦力的方向（向上）與物體位移的方向（向下）相反。

動能變化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100）= 50

位能變化：

ΔEP = mg (h_t - H_o) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

機械功-能定理的公式：

Wnc = ΔEK+ ΔEP

– 30 = 50 – 10 小時

10 小時 = 50 + 30

10 h = 80

h = 80/10

h = 8 米

正確答案是 B。