如果你用力推動桌上的書，直到它移動，你就對書做了功。如果物體因為受到重力作用而落到地球表面，那麼重力就對物體做了功。反之，如果你使出渾身解數推動一個物體，直到汗流浹背，但物體紋絲不動，那麼你並沒有對物體做功。在日常生活中，人們可能會說你做了功或很努力地推動了物體，但根據物理學，你並沒有對物體做功，因為物體並沒有發生位移。
對物體做功的力可以是恆力（力的大小和方向始終保持不變），也可以是變力（力的大小和方向總是改變）。例如，當物體位於地球表面附近時，所受的引力就是一個大小和方向都恆定的力。當物體在地球表面附近自由落體時，由於作用於物體的引力大小和方向恆定，物體的自由落體加速度的大小和方向也保持不變。另一個例子是彈簧的彈性，它的大小和方向雖然保持不變，但作用力卻不斷變化。拉伸彈簧時，彈簧長度增加越多，拉伸的力就越大。彈簧所受的力的大小會隨著彈簧的拉伸而改變。另一個例子是火箭進入太空或返回地球表面。當火箭運動時，作用於火箭的引力大小與火箭到地心的距離的平方成反比。
從數學角度來說，恆力對物體所做的功定義為位移與力的乘積，或者說是力在物體位移方向上的分量的乘積。
非恆力（例如彈簧）所做的功不能用恆力做功的公式來計算。如果彈簧被拉伸，隨著拉伸量的增加，拉伸彈簧所需的拉力也會增加。同樣，如果彈簧被壓縮，彈簧越緊，所需的推力也越大。只要彈簧處於壓縮或拉伸狀態，其彈性就會從 0 (x = 0) 變化到最大值 (F = kx)，因此彈力的計算需要使用平均值。
問題範例
1. 2018年全國統考題
質量為 m 的物塊位於光滑的水平面上。如圖所示，物塊靜止於位置 (1)，並在時間間隔 t 內受到力 F 的拉動而移動到位置 (2)。
透過改變質量和力，得到以下數據：
根據上表，物體由大到小所做的功依序為…
彭巴哈桑
我們都知道：
初始速度（v₀ ） = 0
問：
答：
工作公式：
W = F s ……….公式 1
GLBB 公式：
s = v o t + 1/2 at 2
s = 1/ 2，2
代入公式 1
W = F ( 1/2 at 2 ) ……….公式 2
力公式：
F = ma
a = F / m
代入公式 2
W = 0,5 F (F/m) t 2
W = 0,5 (F 2 /m) t 2 ……….公式 3
使用公式 3 計算努力量。
1) W = 0,5 (F 2 /m) t 2 = 0,5 (3 2 /12)(4 2 ) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6
2) W = 0,5 (F 2 /m) t 2 = 0,5 (4 2 /16)(3 2 ) = (0,5)(16/16)(9) = (1) 4,5 = 4,5
3) W = 0,5 (F 2 /m) t 2 = 0,5 (5 2 /20)(2 2 ) = (0,5)(25/20)(4) = (1,25) 2 = 2,5
4) W = 0,5 (F 2 /m) t 2 = 0,5 (6 2 /24)(1 2 ) = (0,5)(36/24)(1) = (1,5) 0,5 = 0,75
從大到小，這些物體所做的功分別為 1、2、3、4。
2. 2017高中/職業高中全國統考題
質量為 6 kg 的箱子以 8 m/s 的速率在一個粗糙的斜面上滑動，斜面與水平面的傾角為α 。如果箱子受到的摩擦力為 5 N，且 tan α = 3/4，那麼要讓箱子在斜面底部停止滑動，必須施加多大的力 F 呢？
A. 15 N
B. 25 N
C. 45 N
D. 55 北
東 69,4 北
彭巴哈桑
已知：
箱子的質量 (m) = 6 kg
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
箱子的初速 (v₀ ) = 8 m/s
箱子的最終速度（v t ）= 0 公尺/秒（箱子必須在到達斜面底部之前停止）
摩擦力（F<sub>摩擦</sub>）= 5 N
切線角 α = 前邊 / 底邊 = 3/4
斜邊 = 5 米
問： F
回答 ：
機械功-能定理：
非保守力所做的功 = 機械能的變化
非保守力所做的功 = 動能和位能的變化。
存在兩種非保守力，即動摩擦力和 F 力。
動摩擦力對箱子所做的功：
W = -(F ges )(s) = -(5)(5) = -25
為負值，因為摩擦力的方向與箱子的運動方向相反。
力 F 所做的功：
W = (F)(s) = (F)(5) = -5F
結果為負，因為力 F 的方向與箱子的運動方向相反。
動能變化：
Δ EK = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 (6)(0 2 – 8 2 ) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192
重力位能的變化：
ΔEP = mgh = (6)(10)(-3) = -180
h 為負值，因為最終位置低於初始位置。
機械功-能定理：
W nc = Δ EM
W ges + W F = Δ EP + Δ EK
-25 – 5F = -180 -192
-25 – 5F = -372
-5F = -372 + 25
-5°F = -347
F = -347 / -5
F = 69,4 牛頓
正確答案是 E。
3. 2017高中/職業高中全國統考題
如圖所示，質量為 10 kg 的物塊從 A 點沿著 B 點下滑，最後停在 C 點。物塊與粗糙表面之間的動摩擦係數為 0,2，因此物塊運動路徑 ABC 的長度為…
A. 250厘米
B. 200 厘米
C. 150 厘米
直徑 100 厘米
E. 80 厘米
彭巴哈桑
已知：
物塊質量 (m) = 10 kg
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
物體的重量 (w) = mg = (10 kg)(10 m/s 2 ) = 100 牛頓
斜面高度 (h) = 30 公分 = 0,3 米
斜面長度 (s) = 50 公分 = 0,5 米
動摩擦係數（μk ）= 0,2
動摩擦力 (f k ) = μ k N = μ k w = (0,2)(100 N) = 20 N
問題：路徑ABC的長度
回答 ：
考慮物體從AB點出發的運動。
A點的初始機械能 = 重力位能 = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 焦耳
B點的最終機械能 = 動能
機械能守恆定律：
初始機械能 = 最終機械能
30焦耳 = 動能
因此，B 點的動能為 30 焦耳。
考慮物體從 BC 點出發的運動。
功-機械能定理指出，非保守力所做的功等於物體機械能的變化。機械能的變化 = 末機械能 – 初機械能。數學表達式為：
W NC = Δ EM
W NC = EM 2 – EM 1
物體位於平面上，因此重力位能為零。機械能（EM）= 動能（EK）。
初始動能（EK1 ）= B點的動能 = 30焦耳
最終動能（EK 2 ）= C 點的動能 = 0（滑塊停止）。
非保守力 BC 所做的功等於動摩擦力所做的功。
W NC = – f k s = – 20 s
加迪
W NC = EK 2 – EK 1
– 20 秒= 0 – 30
– 20 秒 = – 30
20秒=30
s = 30/20 = 3/2 = 1,5 公尺 = 1,5 x 100 公分 = 150 公分。
軌道 ABC 的長度 = 50 公分 + 150 公分 = 200 公分。
正確答案是 B。
4. 2014/2015年度高中/碩士物理全國統考題第8題
請看下圖！一個物塊在一個粗糙的斜面上滑動，斜面與水平面的摩擦係數為 0,4。如果g = 10 m/ s²，那麼物塊到達斜面底部時的速度是多少？
一個2√5 毫秒-1
B. 2√7 ms -1
C. 2√14 ms -1
D. 2√19 ms -1
E. 2√23 ms -1
彭巴哈桑
看著下圖
已知：
初始高度（h <sub>o</sub> ）= 6 米
最終高度（h<sub> t</sub> ）= 0 米
初速（v₀ ）= 0 （初始時物體靜止）
動摩擦係數（μk ）= 0,4（滑塊滑動，因此是動摩擦係數，而非靜摩擦係數）
重力加速度 (g) = 10 m /s²
cos θ = 底部/斜角 = 8/10
垂直方向的重力分量 = w y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m
法向力 = N = w y = 8 m
動摩擦力 = f k = μ k N = μ k w y = (0,4)(8 m) = 3,2 m
問題：末速度（v t ）
回答 ：
動能定理指出，非保守力對物體所做的功等於物體機械能的變化。動摩擦力就是非保守力的一個例子。
Wnc = ΔEM
W nc = Δ EK + Δ EP
備註：
W nc = 非保守力所做的功，Δ EM = 機械能的變化，Δ EK = 動能的變化，Δ EP = 位能的變化。
動能變化：
ΔEK = 1/2 m (vt2 -vo2) = 1/2 m (vt2 - 0) = 1/2 mvt2
位能變化：
ΔEP = mg (h t – h o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m
動摩擦力所做的功：
Wnc = – f k s = – ( 3,2 米)(10) = – 32 米
因為動摩擦力做負功，所以它是負的，動摩擦力的方向（向上）與物體位移的方向（向下）相反。
計算末速度（v t）：
Wnc = ΔEK + ΔEP
– 32 m = 1/2 mv t 2 – 60 m
– 32 公尺= 公尺 (1/2 v t 2 – 60)
– 32 = 1/2 v t 2 – 60
– 32 + 60 = 1/2 v t 2
28 = 1/2 v t 2
2 (28) = v t 2
56 = v t 2
v t = √4.14
v t = 2 √14 ms -1
正確答案是C。
5. 2014/2015學年高中/碩士物理全國統考題第8題
看看旁邊的圖片！
一個滑塊沿著粗糙斜面下滑，到達斜面底部時的速度為 10 ms⁻¹ 。如果摩擦力為 2 N，g = 10 ms⁻² ，那麼 h 的值就是…
A. 10 米
B. 8 米
C. 6 米
D. 4 米
E. 2 米
彭巴哈桑
已知：
物塊質量 (m) = 1 kg
初速（v₀ ） = 0 （初始時物體靜止）
末速度（v t）= 10 ms -1
初始高度（h₀ ） = h
最終高度（h<sub> t</sub>）= 0
動摩擦力 (f k ) = 2 N
重力加速度 (g) = 10 m /s²
問：身高（h）
回答 ：
動摩擦力所做的功：
Wnc = – f k s = – (2 )(15) = – 30
因為動摩擦力做負功，所以它是負的，動摩擦力的方向（向上）與物體位移的方向（向下）相反。
動能變化：
ΔEK = 1/2 m (vt2 -vo2) = 1/2 (1)(102 - 0) = 1/2 (102) = 1/2 (100）= 50
位能變化：
ΔEP = mg(ht – ho ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h
機械功-能定理的公式：
Wnc = ΔEK + ΔEP
– 30 = 50 – 10 小時
10 小時 = 50 + 30
10 h = 80
h = 80/10
h = 8 米
正確答案是 B。
