保守力所做的功 位能
觀察物體垂直向上移動，到達最高點後返回初始位置的過程。當物體垂直向上移動時，重力對物體做負功。物體向上移動時，其高度增加。因此，物體的重力位能也隨之增加。由此可以得出結論：重力所做的負功等於物體重力位能的增加量。
W = – mgh
W = – mg (h 2 – h 1 ) = – (PE 2 – PE 1 ) = -ΔPE
當物體垂直向下運動時，重力對物體做正功。物體垂直向下運動時，其高度降低。因此，物體的重力位能也降低。由此可知，重力對物體所做的正功等於物體重力位能的減少量。
W = mgh
W = mg (h 1 – h 2 ) = mgh 1 – mgh 2 = – (mgh 2 – mgh 1 ) = – (PE 2 – PE 1 ) = -ΔPE
觀察一個物體，它被彈簧的一端向左擠壓（見圖3）。當物體向左運動時，彈簧力對物體做負功。物體向左移動時，彈簧的位移會增加，因此彈簧的位能也增加。由此可知，彈簧所做的負功等於彈簧位能的增加量。當物體向右運動時，彈簧力對物體做正功。物體向右運動時，彈簧的位移會減少，因此彈簧的位能也減少。由此可知，彈簧對物體所做的正功等於彈簧位能的減少量。
根據上述解釋，保守力所做的功等於物體位能的變化。當保守力做正功時，位能減少；反之，當保守力做負功時，位能增大。因此，保守力所做的功等於位能的負變化量。
W c = -ΔPE
例題 6：保守力做功和位能
質量為 1 kg 的物體位於離地 5 公尺的高度。重力加速度為 10 m/s² 。求：(a) 物體被移動到離地面 10 公尺的高度時，重力所做的功；(b) 將物體移動到離地面 10 公尺的高度所需的功；(c) 當物體被移動到離地面 10 公尺的高度時，其重力位能的變化。
討論：
已確定：m = 1 kg，g = 10 m/s 2，
（a）按重量做功
W = – mg Δh
= – (1 kg)(10 m/s 2 )(5 m) = – 50 焦耳
重力做負功，因為重力的方向與物體位移的方向相反。
（重力方向向下，物體的位移方向向上）。
（b）升力做功
為了能夠提起物體，最小提升力必須等於物體的重量。
= (1 公斤)(10 公尺/秒² )(5 公尺) = 50 焦耳
W = wh = mg Δh
升力所做的功為正，因為力的方向與位移的方向相同。
（力提升方向向上，位移方向向上）
（c）位能變化
ΔPE = mg Δh
ΔPE = 50 焦耳
物體的引力位能增加了 50 焦耳。
關於保守力做功和位能的20個概念性問答：
1. 問：什麼是保守力？答：保守力是指做功與運動路徑無關的力。
2. 問題：保守力所做的功與位能的變化有何關係？答：保守力所做的功等於位能的負變化量。
3. 問題：請舉出一個常見的保守力的例子。答案：萬有引力是常見的保守力的例子。
4. 問：為什麼摩擦力不被認為是保守力？答：因為摩擦力所做的功取決於物體所處的路徑。
5. 問題：地球表面附近物體的重力位能如何表示？答：重力位能表示為ℎ ，其中 m 為質量，g 為重力加速度，h 為物體相對於參考點的高度。
6. 問：位能可以是負值嗎？答：是的，位能可以是負值，這取決於參考點的選擇。
8. 問題：如果一個系統的位能增加，假設沒有外部做功，那麼動能會發生什麼變化？答：動能減少的量與位能增加的量相同，符合機械能守恆定律。
9. 問：機械能守恆的條件是什麼？答：當只有保守力作用於一個系統時，機械能守恆。
10. 問題：在一個只有保守力作用的封閉系統中，關於總機械能可以得到什麼結論？答：總機械能不變。
11. 問題：如何確定電場中電荷的位能？答：位能，其中 q 為電荷量，V 為電位。
12. 問：為什麼在重力場中提升物體會增加其位能？答：因為提升物體需要克服重力做功，這些功就以位能的形式儲存起來。
13. 問題：保守力在閉合迴路中如何做功？答：保守力在閉合迴路中所做的淨功為零。
14. 問：位能與穩定性有何關係？答：在位能最小的點，系統是穩定的。
15. 問：兩個高度不同的物體可以有相同的重力位能嗎？答：可以，這取決於位能的參考水平面的選擇。
16. 問：為什麼我們通常會選擇地面作為重力位能的參考點？答：雖然任何一點都可以作為參考點，但地面提供了一個方便且易於理解的參考點。
17. 問題：在一個只有保守力的孤立系統中，如果位能減少 10 J，動能變化多少？答：動能增加 10 J。
18. 問：在保守場中，位能與力有什麼關係？答：力是位能的負梯度。
19. 問：如果物體沿著保守力的方向運動，它的位能如何改變？答：它的位能減小。
20. 問：物體有可能具有動能但位能為零嗎？答：是的，這取決於位能的參考點的選擇。
這些問答涵蓋了保守力和位能的基本概念，它們是經典力學不可或缺的一部分。
