剛體旋轉—問題與解決方案
力矩
1. 如圖所示，三個力作用於一根長6公尺的樑上。求使梁繞O點旋轉的合力矩。
已知：
旋轉軸位於 O 點。
力 1 (F 1 ) = F
F1作用線與旋轉軸之間的距離 (r1 ) = 3 米
力 2 (F 2 ) = 2F
F2作用線與旋轉軸之間的距離 (r2 ) = 2 米
力 3 (F 3 ) = 2F
F3作用線與旋轉軸之間的距離 (r3 ) = 3 米
求：力矩的大小
解決方案：
力矩 1：
τ 1 = F 1 r 1 = (F)(3) = -3F
力矩1使梁順時針旋轉，因此我們賦予其負號。
力矩 2：
τ² = F²r² = ( 2F ) (2) = 4F
力矩 2 使梁逆時針旋轉，因此我們賦予正號。
力矩 3：
τ 3 = F 3 r 3 sin 30 o = (2F)(3)(0.5) = 3F
力矩 2 使梁逆時針旋轉，因此我們賦予正號。
力矩的合力：
Στ = τ1 + τ2 + τ3
Στ = -3F + 4F + 3F
Στ = 4F
力矩的大小為 4F 牛頓米。此力矩的合力使梁逆時針旋轉，因此我們賦予其正號。
2. α = 30 °，AB = BC = 1 公尺。求 A 點繞旋轉軸的力矩。
已知：
旋轉軸位於點 A. 
力 1 (F1 ) = 10 N
F₂作用線與旋轉軸之間的距離（r₂ ） = 1米
力 2 (F2 ) = 10 N
F₂作用線與旋轉軸之間的距離（r₂ ） = 1米
力 3 (F3 ) = 20 N
F3作用線與旋轉軸之間的距離 (r3 ) = 2 米
求：力矩的合力
解決方案：
力矩 1：
τ 1 = F 1 r 1 sin 30 o = (10)(1)(0.5) = 5 N·m
力矩1使梁逆時針旋轉，因此我們假設為正號。
力矩 2：
τ² = F²r²sin30 ° = ( 10 )(1)(0.5) = -5牛頓米
力矩2順時針旋轉 ba m，因此我們給其負號。
力矩 3：
τ 3 = F 3 r 3 sin 60 o = (20)(2)(0.5√3) = -20√3 牛頓米
力矩3順時針旋轉 ba m，因此我們賦予其負號。
力矩的合力：
Στ = τ1 + τ2 + τ3
Στ = 5 – 5 – 20√3
Στ = – 20√3 N·m
力矩的大小為 20√3 N·m。力矩的合力使梁順時針旋轉，因此我們賦予負號。
- 什麼是剛體？它與非剛體有何不同？
- 答： 剛體是一種理想化的物體，其內部任意兩點之間的距離保持不變，不受外力或力矩的影響。與之相反，非剛體可以發生形變，其內部兩點之間的距離也會改變。
- 剛體的轉動慣量與其質量分佈有何關係？
- 答： 剛體的轉動慣量是衡量其繞給定軸旋轉運動能力的指標，它取決於剛體的質量及其相對於旋轉軸的分佈。轉動慣量可將剛體各部分的質量與其到旋轉軸距離的平方的乘積相加來計算。
- 旋轉剛體的旋轉動能有何意義？
- 答： 轉動動能是剛體因旋轉而產生的能量的量測。它取決於剛體的轉動慣量和角速度，其表達式為 1/2 ，其中 是轉動慣量，而且 是角速度。
- 如果一個粒子系統不受任何外部扭力作用，其角動量會發生什麼變化？
- 答： 如果一個粒子系統不受任何外力矩作用，則該系統的總角動量守恆。這就是角動量守恆原理。
- 平行軸定理如何幫助求剛體的轉動慣量？
- 答： 平行軸定理可以用來計算剛體繞任意平行於某一點且距離為某一點的軸的轉動慣量。 遠離穿過其質心的軸線。它指出： ，其中 是繞質心的轉動慣量， 是總質量， 是兩軸之間的距離。
- 滾動時不打滑和滾動時打滑有什麼區別？
- 答： 無滑動滾動是指剛體繞固定軸旋轉並同時做平移運動，且剛體與接觸面之間沒有相對運動。有滑動滾動則是指剛體與接觸面之間存在相對運動或滑動。
- 迴轉半徑與轉動慣量有什麼關係？
- 答： 迴轉半徑是描述物體質量圍繞其旋轉軸分佈的指標。它定義為轉動慣量與質量之比的平方根，並給出了在不改變轉動慣量的情況下，所有質量可以集中在距離旋轉軸的某個等效距離。
- 在給定扭矩的情況下，增加轉動慣量對剛體的角加速度有何影響？
- 答： 對於給定的扭矩，增加轉動慣量會降低角加速度，因為 ，其中 是角加速度， 是扭矩，而且 是轉動慣量。
- 作用於剛體的力能否同時引起其平動與轉動？請解釋原因。
- 答： 是的，作用於剛體的力既可以引起平動，也可以引起轉動。如果力作用於不位於質心的點，則剛體既可以做平動（直線運動），也可以做轉動。平動取決於合力的大小，而轉動則取決於力對質心所產生的力矩。
- 為什麼花式滑冰選手將手臂收攏到身體附近時旋轉速度會更快？
- 答： 花式滑冰選手將雙臂收攏到身體附近，減小了轉動慣量。根據角動量守恆定律，如果轉動慣量減小且沒有外力矩作用，角速度必然增加。因此，滑冰選手的旋轉速度會加快。
這些問答有助於理解與剛體旋轉相關的關鍵概念。
