關於自由落體運動的文章
在日常生活中，我們經常看到物體做自由落體運動，例如水果從樹上掉落，物體從一定高度落下或被拋擲。為什麼物體會做自由落體運動呢？乍一看，物體自由落體運動時似乎速度恆定，或者說沒有加速度。但事實上，所有自由落體的物體都會經歷一個勻加速運動。正是這個原因導致了自由落體運動，包括非勻速直線運動。那麼，如何證明自由落體的物體會經歷均勻加速運動或速度增加呢？
在地上釘兩根釘子，然後從不同高度分別向每根釘子上扔一塊石頭。你會發現，受到較高高度石頭撞擊的釘子比其他釘子釘得更深。石頭離地面越高，撞擊地面的速度就越大，從而能將釘子壓得更深。
過去，物體下落的運動是自然哲學中一個非常有趣的研究主題。哲學家亞里斯多德曾說過，質量越大的物體下落速度越快。亞里斯多德的觀點影響了伽利略之前的人們，他們認為質量越大的物體下落速度越快，物體的下落速度與其質量成正比。或許在學習這個主題之前，你也這麼認為。例如，我們從同一高度丟下一張紙和一塊石頭。我們觀察到的結果表明，石頭比紙先接觸地面。現在，讓我們從同一高度扔下兩塊石頭，其中一塊比另一塊大。與之前丟下的石頭和紙相比，這兩塊石頭同時接觸地面。我們還可以做實驗，丟下成團的石頭和紙。
什麼影響落石或紙張的運動？空氣摩擦力！空氣阻力或摩擦力對自由落體運動影響巨大。伽利略假設，如果沒有空氣或其他障礙物，所有物體都會以相同的加速度下落。伽利略斷言，所有物體，無論輕重，至少在沒有空氣的情況下，都會以相同的加速度下落。他認為，空氣對表面積很大的極輕物體構成阻礙。但在許多情況下，這種空氣阻力可以忽略不計。在空氣被抽走的房間（真空），像一張水平放置的輕物體（例如一張紙）會以與其他物體相同的加速度下落。伽利略對我們理解物體下落運動的貢獻可以概括如下：
在地球上的某一特定位置，且忽略空氣阻力，所有物體都以相同的恆定加速度下落。我們將這種加速度稱為重力加速度，並以符號 g 表示。 g 的大小約為 9.8 公尺/秒²。在英制單位制中，g 的大小約為 32 英尺/秒²。重力加速度的方向指向地心。
自由落體運動的定義
如果物體垂直於地心運動，並且在運動過程中受到恆定的重力加速度作用，則稱該物體處於自由落體狀態。如果自由落體發生在地球表面附近，物體所受到的恆定重力加速度為 9.8 m/s² 。
重力加速度的方向指向地球中心（垂直於地球表面）。為簡化計算，g 取 10 m/ s²。
有三種不同的情況：
1. 物體垂直向下運動時沒有初始速度（即沒有初速 v₀ ）。例如，果實從樹上脫落後會落下。運動方向始終向下，物體受到加速度 g 的作用，因此 g 始終為正值。在某些物理書籍中，這種運動稱為自由落體運動。
2. 物體以初始速度（即 v₀）垂直向下移動。例如，一塊石頭被垂直向下拋出。運動方向始終向下，物體受到加速度 g 的作用，因此 g 始終為正值。在某些物理書籍中，這種運動被稱為垂直向下運動。
3. 物體以初速垂直向上移動，到達最高點後向下移動。例如，你向上拋出彈珠，然後在彈珠下落時將其接住。物體向上移動時會減速（負重力加速度g），向下運動時會加速（正重力加速度g）。在某些物理書籍中，這種現象稱為垂直向上運動。需要注意的是，如果物體符合上述三種情況之一，則稱該物體處於自由落體運動狀態。
自由落體運動方程
自由落體運動是非勻速直線運動的一個例子，因此自由落體運動的方程式與非勻速直線運動的方程式基本相同，只是根據自由落體運動的條件進行了調整。
h = 高度（米），v o = 初速度（米/秒），v t = 末速度（米/秒），t = 時間（秒），g = 重力加速度（米/秒²）= 9.8 米/秒²或 10 米/秒²。
重力加速度恆定為 10 m/s² （ g 為正，物體向下運動），這意味著物體的速度每 1 秒增加 10 m/s。 2 秒後，物體的速度增加 20 m/s。 3 秒後，物體的速度增加 30 m/s。重力減速度恆定為 10 m/s² （ g 為負，物體向上運動），這意味著物體的速度每 1 秒減少 10 m/s。 2 秒後，物體的速度減少 20 m/s。 3 秒後，物體的速率減少 30 m/s。恆定加速度或恆定減速度僅發生在地球表面附近。
例題1：
芒果被釋放並落到地面。若芒果的初始位置距離地面 10 米，質量為 5 克，求：
（a）芒果落地時的速度
（b）芒果落地的時間間隔。
g = 9.8 公尺/秒²
解決方案：
已知： h = 10 m，g = 9.8 m/ s²
a) 漫畫落地時的速度
質量是在自由落體運動方程式中計算的。
b) 空氣中的時間間隔
例題2：
一個物體從一定高度自由落體。求：
（a）物體加速度的大小
（b）物體在前2秒內行進的距離
（c）物體下落50公尺後的速度
（d）物體達到20公尺/秒的速度需要多久？
（e）物體下落到100公尺高度需要多久？
解決方案：
已知： g = 9.8 m/ s²
a) 物體的加速度大小
物體的加速度 = 重力加速度 = g = 9.8 m/ s²
b) 物體在前 2 秒內行進的距離
已知： g = 9.8 m/s² ， t = 2 s
通緝： h
h = 1⁄2 gt 2 = 1⁄2 (9.8)(2) 2 = (4.9)(4) = 19.6 米
c) 物體下落50公尺後的速度
已知： h = 50 m，g = 9,8 m/ s²
通緝： v t
d) 物體達到 20 公尺/秒的速度需要多久？
已知： v <sub>t</sub> = 20 m/s，g = 9,8 m/ s²
通緝： t
e) 物體下墜至100公尺所需的時間間隔
所需條件： h = 100 米，g = 9,8 米/秒²
解決方案： t
例題3：
一塊石頭以 5 公尺/秒的初始速度投入井中。若石頭在 4 秒後落入水中，求：
（a）石頭入水時的速度
（b）井的深度
解決方案：
a) 石頭入水時的速度
已知：
v₀ = 5 m/s，t = 4 s，g = 9.8 m / s²
通緝： v t
v t = v o + g t
vt = 5 m/s + (9.8 m/s² ) (4 s) = 5 m/s + 39.2 m/ s
vt = 44.2 公尺/秒
b) 井深
已知：
v₀ = 5 m/s，t = 4 s，g = 9.8 m / s²
通緝： h
h = v o t + ½ gt 2
h = (5)(4) + ½ (9.8)(4) 2
h = 20 + (4.9)(16)
h = 20 + 78.4
h = 98.4 米
例題4：
從50公尺高的建築物頂部，一個包裹以10公尺/秒的速度垂直向下拋出。求：
（a）空中停留時間
（b）包裹撞擊地面時的速度
解決方案：
a) 空中停留時間
已知：
h = 50 m，g = 9.8 m/s² ， vo = 10 m/s
通緝： t
h = v o t + ½ gt 2
50 = 10 t + ½ (9.8) t 2
50 = 10t + 4.9t²
4.9t² + 10t – 50 = 0
使用二次方程式公式：
滯空時間 = 2.3 秒
b) 包裹撞擊地面時的速度
已知：
h = 50 m，g = 9.8 m/s² ， vo = 10 m/s
通緝： v t
例題5：
一個球以 20 公尺/秒的初始速度垂直向上拋出。求球達到的最大高度。
解決方案：
向上方向的向量分量為正，向下方向的向量分量為負。以小球的初始位置為參考點。
已知：
v₀ = 20 公尺/秒（初始速度方向向上，球向上拋出，所以 v₀為正值）
v t = 0 m/s（小球在最高點的速率為 0 m/s）
g = – 9.8 m/s² （重力加速度方向向下，所以 g 為負值）
通緝： h
例題6：
一顆彈珠從離地面100公尺高的建築物頂部垂直向上拋出，初速為20公尺/秒。求：
（a）空中停留時間
（b）彈珠撞擊地面時的速度
解決方案：
以彈珠拋擲點為參考點；建築物上方為參考點。向上向量的大小為正，向下向量的大小為負。
a) 空中停留時間
已知：
h = – 100 公尺（h 為負值是因為地面低於初始位置或參考點）
v₀ = 20 公尺/秒（初始速度方向向上，因此 v₀為正）
g = – 9.8 m/s² （重力加速度方向向下，所以 g 為負值）
通緝： t
使用二次方程式公式：
自
球被拋出 = 7 秒。
b) 大理石撞擊地面時的速度
已知：
h = -100 公尺（負值是因為地面低於參考點或初始位置）
v₀ = 20 公尺/秒（初始速度方向向上，因此 v₀為正）
g = -9.8 公尺/秒²（重力加速度的方向向下，所以 g 為負值）。
通緝： v t
關於自由落體運動的概念性問題與答案
- 什麼是自由落體運動？
自由落體運動是指物體僅在重力作用下的運動，不受其他力（如空氣阻力）作用。
- 重力加速度是多少？
重力加速度是指物體在地球表面附近自由下落時所受到的加速度。它通常用“g”表示，近似值為9.8米/秒²。
- 已知初速和時間，自由落體運動的位移公式是什麼？
公式為 h = ut + ½gt²，其中 h 為位移（高度），u 為初速，g 為重力加速度，t 為時間。
- 物體在自由落體運動過程中速度如何改變？
在自由落體運動過程中，由於重力加速度恆定，物體的速度會隨時間線性增加。
- 已知初始速度和時間，自由落體運動的末速度的公式是什麼？
公式為 v = u + gt，其中 v 為末速度，u 為初速，g 為重力加速度。
- 自由落體運動中，物體在軌跡最高點的速度會發生什麼變化？
物體在其運動軌跡的最高點，速度瞬間變為零。
- 在自由落體運動中，負號代表什麼？
負號通常表示與所選正方向相反的方向。根據上下文，它可以表示向下墜落（如果向上為正方向）或向下拋擲（如果向上為負方向）。
- 當自由落體物體到達最大高度時，其加速度會發生什麼變化？
物體在自由落體運動的最高點的加速度仍等於 g（在地球表面附近約為 -9.8 公尺/秒²），方向向下。
- 空氣阻力如何影響自由落體運動？
實際上，空氣阻力會顯著減緩物體的下落速度，使其不再處於自由落體運動狀態。然而，為了簡化計算，許多物理問題中都忽略了空氣阻力。
- 自由落體運動的飛行時間是多少？
飛行時間是指物體在空中停留的總時間。對於從同一高度發射和著陸的物體，飛行時間可以用公式 t = 2u/g 計算。
關於自由落體運動的問題與解決方案
- 問題： 一塊石頭從78.4公尺高的懸崖落下。這塊石頭需要多久才能落到地面？ 解決方案： 我們使用方程式 h = ½gt²。解得時間 t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 s。
- 問題： 一個球以 19.6 公尺/秒的初速向上拋出。這球能飛多高？ 解決方案： 使用公式 h = v₀t – ½gt² 在最大高度（末速度為 0）處，高度 h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 公尺。
- 問題： 一塊石頭以 10 公尺/秒的初始速度向上拋出。 2 秒後它的速度是多少？ 解決方案： 方程式 v = v₀ – gt 得出速度 v = 10 – 9.8×2 = -9.6 公尺/秒。
- 問題： 一枚硬幣投入井中，3秒後落入水中。這口井有多深？ 解決方案： 利用 h = ½gt²，深度 h = ½x9.8×3² = 44.1 公尺。
- 問題： 一本書從桌上掉下來，0.5秒後落地。桌子有多高？ 解決方案： 利用公式 h = ½gt²，高度 h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 公尺。
- 問題： 一個球以 20 公尺/秒的初始速度向上拋出。它何時達到最大高度？ 解決方案： 在最高點，v = 0。解得 t = (v – v₀) / -g，時間 t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 秒。
- 問題： 一個物體下落6秒。它的末速度是多少？ 解決方案： 使用公式 v = v₀ + gt，初速 v₀ = 0，則最終速度 v = 0 + 9.8×6 = 58.8 公尺/秒。
- 問題： 一個蘋果從樹上掉下來，花了 1.5 秒才落地。這棵樹有多高？ 解決方案： 利用公式 h = ½gt²，高度 h = ½x9.8x(1.5)² = 11 公尺。
- 問題： 一個足球以 25 公尺/秒的初始速度垂直向上踢出。它需要多長時間才能落地？ 解決方案： 到達最高點所需時間 t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 秒。落地所需時間是此值的兩倍，所以 t = 2×2.55 = 5.1 秒。
- 問題： 一塊石頭從橋上丟下，4秒後落入水中。這座橋有多高？ 解決方案： 利用公式 h = ½gt²，高度 h = ½x9.8×4² = 78.4 公尺。
- 問題： 一枚火箭以 50 公尺/秒的速度垂直向上發射。它能飛多高？ 解決方案： 利用 h = v₀² / (2g)，高度 h = (50)² / (2×9.8) = 127.55 公尺。
- 問題： 一個球以 10 公尺/秒的初始速度向下拋出。 2 秒後它的速度是多少？ 解決方案： 利用公式 v = v₀ + gt，速度 v = 10 + 9.8×2 = 29.6 公尺/秒。
- 問題： 一個球被垂直向上拋出，6 秒後落回地面。它的初速是多少？ 解決方案： 利用公式 v₀ = gt / 2（因為總時間是達到最大高度所需時間的兩倍），初始速度 v₀ = 9.8×6 / 2 = 29.4 公尺/秒。
- 問題： 一個物體下落10秒鐘，它下落了多遠？ 解決方案： 利用公式 h = ½gt²，可得距離 h = ½x9.8×10² = 490 公尺。
- 問題： 一顆彈珠從塔上落下，5秒鐘後落地。這座塔有多高？ 解決方案： 利用公式 h = ½gt²，高度 h = ½x9.8×5² = 122.5 公尺。
- 問題： 一支棒球以15公尺/秒的初速垂直向上拋出。它何時達到最大高度？ 解決方案： 在最高點，v = 0。解得 t = (v – v₀) / -g，時間 t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 秒。
- 問題： 一個物體被自由落體，下落7秒後，它的末速度是多少？ 解決方案： 使用公式 v = v₀ + gt，初速 v₀ = 0，則最終速度 v = 0 + 9.8×7 = 68.6 公尺/秒。
- 問題： 一塊石頭以 30 公尺/秒的初始速度向上拋出。 3 秒後它的速度是多少？ 解決方案： 利用公式 v = v₀ – gt，速度 v = 30 – 9.8×3 = 0.6 公尺/秒。
- 問題： 一塊石頭從懸崖上落下，8 秒後落地。懸崖多高？ 解決方案： 利用公式 h = ½gt²，高度 h = ½x9.8×8² = 313.6 公尺。
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問題：一支箭以 60 公尺/秒的速度垂直向上射出。它需要多長時間才能落地？答：達到最高點所需時間 t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 秒。落地所需時間是最高點的兩倍，所以 t = 2×6.12 = 12.24 秒。
