阿基米德原理

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質量巨大的船不會沉沒，而體積很小的石頭卻會沉沒。這是為什麼呢？如果你理解浮力和阿基米德原理，答案就顯而易見了。

在日常生活中，我們會發現，像石頭這樣的物體浸入液體中後，重量會比未浸入液體中的物體輕。你可能覺得很難把一塊石頭從地面上提起來，但同樣的石頭卻能毫不費力地從海水底部浮起來。這是由於浮力的作用。浮力是由於不同深度處流體壓力的差異所造成的。流體壓力隨深度增加而增大，流體越黏稠，壓力越大。當物體浸入液體中時，物體上方和下方的流體壓力會有所差異。物體下方的流體壓力高於物體上方的流體壓力。

如圖所示，一個物體漂浮在水中。物體底部的流體壓力高於物體頂部的流體壓力。這是因為物體下方的流體深度比物體上方的流體深度大得多（p）。₂ > h₁).

深度為 h2 處的流體壓力_為：

深度為 h1 處的流體壓力_為：

F₂ ₌流體作用於物體底部的力，F₁ ₌流體作用於物體頂部的力，A = 物體的表面積

_F₂與 F₁_之差即為流體對物體施加的總力，我們稱之為浮力。浮力的大小為：

_浮力F = F ₂ − F ₁

F_浮力= (ρ gh ₂ A) − (ρ gh ₁ A)

F_浮力= ρ g A (h ₂ − h ₁ )

_浮力F = ρ F g A h

_浮力F = ρ F g V

ρF = 流體密度，g =_{重力加速度}，V = 流體中物體的體積

因此，我們可以寫出上面表示浮力大小（F 浮力）的方程式：

F_浮力= ρ _F g V → m = ρ V

_浮力F = m _F g

_浮力F = w _F

m _F g = w _F = 與浸入物體體積相同的液體的重量。

根據上述方程，我們可以說浮力等於被排開流體的重量，被排開流體的體積與浸入流體中的物體的體積相似。

如果將物體插入流體中使其漂浮，而插入的物體部分只是物體的一部分，

那麼，物體排開的流體體積就等於物體浸入流體部分的體積。無論物體是什麼，形狀如何，每個人都會經歷同樣的現象。這就是阿基米德（西元前287-212年）的研究成果，即著名的阿基米德原理。

阿基米德原理指出：

當物體全部或部分浸入液體中時，液體會對物體施加向上的力（浮力），而向上的力（浮力）的大小等於物體所排開的液體的重量。

阿基米德的故事

西元前287年至212年間生活的阿基米德受國王希倫二世委託，調查國王的王冠是否由純金打造。為了確定王冠的成分，阿基米德起初感到困惑。問題在於，王冠形狀不規則，無法先將其破壞以確定其是否由純金製成。

判斷一頂王冠是否由純金製成，首先要測定王冠的重量，然後將其與黃金的比重進行比較。如果王冠是純金製成，那麼王冠的比重就等於黃金的比重。

物體的比重是指物體在空氣中的重量與相同體積的水的重量之比。數學表達式為：

如何確定與物體體積相同的水的重量？

根據阿基米德原理，與物體體積相同的水的重量等於物體下沉時（物體完全浸入水中）所受到的浮力大小。這與物體在水中稱重時所失去的重量相同。因此：

為了確定皇冠的比重，首先將皇冠在空氣中稱重（皇冠在空氣中的重量）。然後將皇冠放入水中再次秤重，得到皇冠的重量減輕值。因此：

測得皇冠的比重後，將其與黃金的比重進行比較。黃金的比重為19.3。如果皇冠的比重等於黃金的比重，則該皇冠由純金製成。但如果皇冠並非由純金製成，則其比重與黃金的比重不同。

為什麼這艘船不會沉沒？

如果物體的密度小於水的密度，那麼物體就會漂浮。反之，如果物體的密度大於水的密度，那麼物體就會下沉。大多數船隻由鐵和鋼製成。鐵和鋼的密度為 7.8 × 10³ ^kg /m³ ^，而水的密度為 1.00 × 10³ ^kg /m³ ^。看起來鐵和鋼的密度大於水的密度。在這種情況下，鐵和鋼的比重為 7.8。這艘船應該會沉沒。為什麼這艘船沒有沉沒？這是因為船的總密度小於水或海水的密度。

例題1：

一塊質量為 40 kg 的石頭沉在池塘底部。如果石頭的體積為 0.2 m³，那麼將石頭提起所需的最小力是多少？

已知：

石頭的質量 (m) = 40 kg

石塊體積 (V) = 0.02^立方米

水的密度 = 1000 kg/ ^m³

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

要求： F級以上

解決方案：

_浮力F = w _F

_浮力F = m _F g → m = pV

_浮力F = ρ _F g V

F_浮力= (1000 kg/m ³ )(10 m/s ² )(0.02 m ³ )

_浮力F = 200 kg·m/ ^s²

_浮力F = 200 N

石頭的重量 (w) = mg

石頭的重量 = (40 kg)(10 m/s ² )

石頭的重量 = 400 kg m/ ^s²

石頭重量 = 400 牛頓

提起這塊石頭所需的最小力道：

石頭的重量 – 浮力 = 400 N – 200 N = 200 N

例題2：

物體在水中的重力加速度分別為 5000 kg·m/s²^和4000 kg·m/s² ^。若物體的密度為 2000 kg/m³ ^，求物體的質量和體積。已知 g = 10 m/ ^s²

解決方案

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

物體密度 = 2000 kg/ ^m³

水的密度 = 1000 kg/ ^m³

物體在空氣中的重量 = 5000 kg m/ ^s²

物體在水中的重量 = 4000 kg m/ ^s²

浮力（F_浮力）= 物體在空氣中的重量 – 物體在水中的重量

浮力 F = 5000 kg m/s² ^– 4000 kg m/ ^s²

浮力 F = 1000 kg·m/ ^s²

F 浮力 = 排開水的重量

浮力 F = (水的質量)(g)

浮力 F = (排開水的體積)(水的密度)(g)

物體排開的水的體積 = 物體在水中的體積

物體積 = 0.1^立方米

物體的質量 = ？

ρ = 米 / V

m = ρ V

m = (2000 kg / m ³ )(0.1 m ³ )

m = 200公斤

物體質量 = 200 公斤

例題3：

如果氣球要舉起 500 公斤的重物，則需要多少體積的氦氣？

解決方案：

氦氣的密度 = 0.1786 kg/ ^m³

空氣密度 = 1.293 kg/ ^m³

浮力 = 物體排開空氣的重量 = 物體的重量 + 氦氣的重量

浮力 = 物體的重量 + 氦氣的重量

浮力 = （負載質量）g + （氦氣質量）g

浮力 = (負載質量 + 氦氣質量)g —- 公式 1

浮力 = 物體排開空氣的重量

浮力 = (被排開空氣的質量)(g) —- 公式 2

我們將公式 1 和公式 2 結合起來：

（負載質量 + 氦氣質量）g = （被排開的空氣質量）g

負載質量 + 氦氣質量 = 排開空氣的質量

500 kg + (ρ氦)(V氦) = (ρ水)(V水)

500 kg = (ρ 水)(V 水) – (ρ 氦)(V 氦)

被排開的空氣體積（V_air）= 氣球中氦氣的體積（V_helium）

500 公斤 = (ρ 水 – ρ 氦)(V)

這是在地球表面舉起重物所需的最小氦氣量。要讓氣球升得更高，就需要增加氦氣的體積。之所以要增加氦氣的體積，是因為空氣密度隨高度降低。