向量加法

關於向量加法的文章

1. 向量和標量的數量

除了基本物理量和導出物理量之外，物理量還可以分為另外兩種類型：標量和向量。質量、距離、時間和體積等物理量是標量，它們只有大小而沒有方向。而位移、速度、加速度和力等物理量是向量，它們既有大小又有方向。

a.標量和向量之間的區別

如果你說一個球的質量是400克，這句話就足以讓你知道球的品質。你不需要知道方向就能算出球的質量。時間、溫度、體積、密度等等也是如此。有很多物理量不能只用大小來表示。如果你說一個孩子移動了100米，這句話還不夠。你可能會問，他往哪個方向移動了？是北、南、東還是西？同樣地，如果你說你用200牛頓的力推桌子，

你開車去哪裡？這類量稱為向量，需要解釋其大小和方向。位移、加速度、衝量、動量等都是向量。學習與這些量相關的課題時，你會理解得更透徹。

b. 畫一個向量

向量用箭頭表示。箭頭始終指向向量的方向。箭頭的長度表示向量的大小。例如，圖中所示力 (F) 的大小為 2 N，方向指向東北，即繞x 軸成45 ^{° 角。}

c.向量的量表示規則

書寫向量時，如果手寫，向量符號通常用大寫斜體書寫，並在上方添加箭頭。印刷書籍中，向量符號則以粗體大寫字母書寫，例如F。向量的大小，如果手寫，則寫成 |F|。印刷書籍中，向量的大小用斜體書寫，例如F。

2. 向量加法－圖解法

用圖形方式加入向量有幾種方法，包括首尾相連法和平行四邊形法。

a. 向量尾對尾加法

已知向量 A 和 B。向量 A = 3 cm 與 x 軸重合（指向東）。向量 B = 2 cm 與 x 軸成 30 ^°角（指向東北）。使用首尾相連法，以圖解法將 A 和 B 相加。 a) R = A + B b) R = A – B

合力向量（R）的大小用直尺測量，合力向量的方向用量角器測量。

已知向量 A、B 和 C。向量 A = 3 cm，與 x 軸重合（指向東）。向量 B = 2 cm，與 x 軸成 30 ^{°角（指向東北）。向量 C = 1 cm，與 x 軸成 60 °}角（指向東北）。使用首尾相連法，以圖解方式將 A、B 和 C 相加。

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

用直尺測量合力向量（R）。用量角器測量合力向量的方向。

b. 平行四邊形法

已知向量 A、B 和 C。向量 A = 3 厘米，與 x 軸重合（指向東）。向量 B = 2 厘米，與 x 軸成 30 ^{°角（指向東北）。向量 C = 1 厘米，與 x 軸成 60 °}角（指向東北）。使用平行四邊形圖形將 A、B 和 C 相加。

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

用直尺測量合力向量（R）。用量角器測量合力向量的方向。

3. 向量的加法－a分析 方法

用圖解法確定合向量的大小和方向是一種方法。結果的準確性取決於你的繪畫和比例尺讀數的準確性。透過數學計算可以更精確地獲得合向量的大小和方向。

a. 利用餘弦定理計算兩個向量總和

計算合力向量大小的公式：

確定合力向量方向的公式：

C = 合向量

A = 向量 1

B = 向量 2

cos ∠(A, B) = 向量 A 和 B 所形成的夾角

例題1：

F1 ₌ 2 N 與 x 軸成 30° 角，F2 ₌ 3 N與 x 軸成 60 ^°角，θ = 30 ^°。

例題2：

F1 ₌ 2N 與 x 軸重合，F2 ₌ 3N與 x 軸成 90 ^°角，θ = 90 ^°。

b. 依分量相加向量

考慮如下圖所示的向量 F，它與 x 軸成一定角度。 F_{_x}和 F_{_y}是向量 F 的分量向量。

分量向量的大小可由下列公式決定：

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

回顧這兩個向量 F₁ 和F₂ 如圖所示，它與 x 軸形成一定的角度。_1x 和F_1y 是向量 F 的分量₁，所以 F_2x 和F_2y 是向量 F 的分量₂.

分量向量可使用以下公式確定：

F_1x =F₁ 餘弦θ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

將分量向量相加：

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

合向量可由下列公式決定：

合力向量的方向可由下列公式決定：

例題1：

求向量 F 的分量，已知其大小為 20 N，與 x 軸成 30 ^°角。

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

例題2：

F1 = 20 N與 x 軸成 30 ^°角， _F2 = 15 N 與 x 軸成 180° 角。求合力的大小和方向_。

F _1x = (20 N)(cos 30 ^° ) = 17 N

F2x = F1 ₌ –15 _N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

將分量向量相加：

F _{_x} = F _{_1x} – F _{_2x} = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

合向量：

F² ₌ Fx² + _Fy² = 2² ⁺ 10² ^{= 4} + 100 ₌ ¹⁰⁴

F = 10.2牛

合向量的方向：

θ = tan −15 =繞 x 軸78.7 ^°

例題3：

F₁，F_2, 和F₃ 分別是 20 北、30 北和 40 北。₁ 形成一個60度的角^o 關於 x 軸，F₂ 形成一個150度的角^o 關於 x 軸，以及 F₃ 形成一個315度的角^o 繞 x 軸旋轉。確定合向量的大小和方向。

F _1x = (20 N)(cos 60 ^° ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N)(cos 30 ^° ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^° ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

新增分量向量：

F _{_x} = F _{_1x} – F _{_2x} + F _{_3x} = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

結果向量：

F² ⁼ Fx² + _Fy² = 12² ⁺ 4² ^{= 144} + 16 ₌ ¹⁶⁰

F = 13牛

合向量的方向：

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^°（繞 x 軸）