討論群體數據百分位數的問答範例
百分位數是統計學中用於理解資料分佈位置的一種量測。本文將詳細討論如何決定分組資料的百分位數。我們將提供幾個範例及其解釋，以幫助讀者理解這個概念。首先，讓我們對百分位數有基本的了解，然後再來看範例及其解釋。
了解百分位數
百分位數是將資料分成 100 個相等部分的值。也就是說，第 n 個百分位數是指分佈中 n% 的資料低於該值。例如，如果資料的第 25 個百分位數 (P25) 為 25%，則表示 25% 的資料低於該值。
在處理分組資料時，我們通常會使用頻數分佈表來整理數據，然後確定相關的百分位數。這些表格將資料以特定的組距呈現，使我們能夠更全面地了解資料的分佈。
分組資料中的百分位數公式
決定群體資料中第 n 個百分位數 (Pn) 的一般公式如下：
\[
P_n = L + \left( \frac{nN – \sum f_{\text{before}}}{f_{k}} \right) \times c
\]
在哪裡：
– \(P_n\) 是第 n 個百分位數。
– \(L\) 是百分位組距的下限。
– \(n\) 是所需的百分位數（例如，對於 P25，n = 25）。
– \(N\) 是累積頻率的總數。
– \(\sum f_{\text{before}}\) 是百分位組距之前的累積頻率。
– \(f_{k}\) 是百分位組距的頻率。
– \(c\) 是組距的長度。
問題範例
為了更好地理解，讓我們來看看下面的例題並詳細討論一下。
例題 1
在一項調查中，我們獲得了100名十年級高中生的身高（公分）數據，具體如下：
| 組距 | 頻數 |
|——————-|———–|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 8 |
| 160 – 164 | 12 |
| 165 – 169 | 20 |
| 170 – 174 | 30 |
| 175 – 179 | 15 |
| 180 – 184 | 10 |
計算資料的第 40 個百分位數 (P40)。
解決方法
1. 決定每個類別的累積頻數：
| 組距 | 頻數 | 累計頻數 |
|——————-|————–|————————|
| 150 – 154 | 5 | 5 |
| 155 – 159 | 8 | 13 |
| 160 – 164 | 12 | 25 |
| 165 – 169 | 20 | 45 |
| 170 – 174 | 30 | 75 |
| 175 – 179 | 15 | 90 |
| 180 – 184 | 10 | 100 |
2. 確定百分位數區間（P40）：
因為我們要找的是 P40，所以我們需要 100 位學生的 40%，也就是 40 位學生。查看累積頻數表，我們發現 40 名學生位於 165-169 公分的組距內，因為 45 是第一個超過 40 的累積頻數。
3. 求公式中所需的數值：
– \(L = 164.5\)
– \(nN = 40\)
– \(\sum f_{\text{before}} = 25\)
– \(f_k = 20\)
– \(c = 5\)
4. 將數值代入公式：
\[
P_{40} = 164.5 + \left( \frac{40 – 25}{20} \right) \times 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + \left( \frac{15}{20} \right) \times 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 0.75 \times 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 3.75
\]
\[
P_{40} = 168.25
\]
因此，該數據的第 40 個百分位數 (P40) 為 168.25 公分。
例題 2
假設有一組 200 位學生的數學測驗成績資料：
| 組距 | 頻數 |
|——————-|———–|
| 40 – 44 | 10 |
| 45 – 49 | 18 |
| 50 – 54 | 32 |
| 55 – 59 | 45 |
| 60 – 64 | 50 |
| 65 – 69 | 25 |
| 70 – 74 | 12 |
| 75 – 79 | 8 |
計算資料的第 75 個百分位數 (P75)。
解決方法
1. 決定每個類別的累積頻數：
| 組距 | 頻數 | 累計頻數 |
|——————-|————–|————————|
| 40 – 44 | 10 | 10 |
| 45 – 49 | 18 | 28 |
| 50 – 54 | 32 | 60 |
| 55 – 59 | 45 | 105 |
| 60 – 64 | 50 | 155 |
| 65 – 69 | 25 | 180 |
| 70 – 74 | 12 | 192 |
| 75 – 79 | 8 | 200 |
2. 確定百分位數區間（P75）：
因為我們要找的是第75個學生（P75），所以我們需要200名學生中的75%，也就是150名學生。查看累計頻數，我們發現這150名學生落在60-64的區間內。
3. 求所需值：
– \(L = 59.5\)
– \(nN = 150\)
– \(\sum f_{\text{before}} = 105\)
– \(f_k = 50\)
– \(c = 5\)
4. 將數值代入公式：
\[
P_{75} = 59.5 + \left( \frac{150 – 105}{50} \right) \times 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + \left( \frac{45}{50} \right) \times 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 0.9 \times 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 4.5
\]
\[
P_{75} = 64
\]
因此，該數據的第 75 個百分位數 (P75) 為 64。
結論
本文討論如何使用公式和幾個範例計算分組資料的百分位數。百分位數是統計學中用於理解資料分佈和確定資料值相對位置的有效工具。透過了解如何計算分組資料的百分位數，我們可以更全面地分析資料。我們希望這些範例和討論能幫助您更好地理解分組資料中百分位數的概念。
