積分在計算平面面積中的應用範例題及討論
在數學教學中，積分是微積分中經常遇到的概念。積分最著名的應用之一是計算曲線或平面下的面積。本文將討論幾個例題，並探討積分在計算平面面積的應用。
理論導論
在講解範例之前，我們先回顧一下用積分計算曲線下面積的基本概念。如果函數 f(x) 在區間 [a, b] 上連續，則曲線 y = f(x) 從 x = a 到 x = b 的面積為：
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
從幾何角度來看，這意味著我們正在計算從 x = a 到 x = b 的非常窄的矩形的面積總和。
例題 1
索爾
計算曲線 y = x² 在區間 [1, 3] 下的面積。
彭巴哈桑
為了計算面積，我們使用以下積分：
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
我們先求 \( x^2 \) 的原函數。 \( x^2 \) 的原函數是 \( \frac{x^3}{3} \)。然後積分變成：
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
請記住，我們必須在積分的極限上計算原函數：
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
因此，曲線 y = x² 從 x = 1 到 x = 3 的面積為：
\[ \frac{26}{3} \, \text{面積單位} \]
例題 2
索爾
求曲線 y = x³ 與直線 x = 1 和 x = 2 所圍成的區域的面積。
彭巴哈桑
為了計算面積，我們使用以下積分：
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
和往常一樣，我們先求 \( x^3 \) 的原函數。 \( x^3 \) 的原函數是 \( \frac{x^4}{4} \)。積分變成：
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
求積分限：
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
因此，曲線 y = x³ 從 x = 1 到 x = 2 的面積為：
\[ \frac{15}{4} \, \text{面積單位} \]
例題 3
索爾
求曲線 y = x² + 1 和 y = 2x + 2 在區間 x = 0 到 x = 1 上所圍成的區域的面積。
彭巴哈桑
首先，我們需要找到交點以確定積分限。方程式 \( x^2 + 1 = 2x + 2 \): 的解為：
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
利用二次方程式公式：
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
然而，對於 0 到 1 之間的上下限，我們不需要使用二次解，只需使用 0 到 1 之間的普通積分極限。接下來，根據這些極限計算頂部 y 曲線減去底部 y 曲線的面積：
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
函數簡化：
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
接下來，我們求其反導數：
\( (-x^2) \) 的原函數是 \( -\frac{x^3}{3} \)，
\( (2x) \) 的原函數是 \( x^2 \)。
\( (1) \) 的原函數是 \( x \)。
以便，
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
下次評估：
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
因此，由曲線 y = x² + 1 和 y = 2x + 2 在區間 [0, 1] 上所圍成的區域的面積為：
\[ \frac{5}{3} \, \text{面積單位} \]
從上述例子可以看出，積分可以用來計算曲線下方或兩條曲線之間的面積。只要正確理解積分的基本概念和反導數技巧，計算這些面積就會變得非常有系統效率。希望本文能加深我們對積分在現實世界中應用的理解，尤其是在計算平面面積方面。
