討論常態分佈期望值的範例問題
常態分佈，又稱高斯分佈，是統計學和機率論中最常用的連續機率分佈之一。由於其優異的數學性質，例如對稱性以及用平均值 (µ) 和標準差 (σ) 進行參數化的唯一性，常態分佈常被用作各種統計推斷的基本假設。本文將透過實例討論常態分佈的期望值，以幫助讀者更深入地理解這個概念。
理解常態分佈
常態分佈可以用對稱的鐘形曲線來表示，大多數數值集中在中間值（即平均值）附近。在這個分佈中，平均值 (µ) 和標準差 (σ) 是兩個重要的參數，它們決定了資料的位置和離散程度。
常態分佈的機率密度函數（PDF）為：
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
在哪裡：
– \( \mu \) 是平均數或平均值
– \( \sigma \) 是標準差
– \( x \) 是一個隨機變數
常態分佈中的期望值
服從常態分佈的隨機變數的期望值等於該分佈的平均值。如果 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，則期望值 \( E(X) \) 為：
\[ E(X) = \mu \]
讓我們繼續舉一些關於常態分佈中期望值的問題例子，以加深我們的理解。
範例問題及討論
例題1：
假設 \( X \) 是服從常態分佈的隨機變量，其中 \( \mu = 50 \) 且 \( \sigma = 10 \)。計算 \( X \) 的期望值。
討論：
如前所述，在常態分佈中，期望值 \( E(X) \) 等於 \( \mu \)。因此，
\[ E(X) = \mu = 50 \]
例題2：
已知隨機變數 \( Y \) 服從常態分佈，其中 \( \mu = 120 \) 和 \( \sigma = 15 \)。求 \( Y \) 的期望值。
討論：
與第一個例子類似，\( Y \) 的期望值是常態分佈的中間值或平均值，即：
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
例題3：
如果隨機變數 \( Z \) 服從平均數為 0 且標準差為 1 的常態分配（標準常態分配），那麼 \( Z \) 的期望值是多少？
討論：
標準常態分配的平均數為 \( \mu = 0 \)，因此期望值 \( E(Z) \) 為：
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
例題4：
假設 \( W \) 是服從常態分配的隨機變量，平均值為 \( \mu = 75 \)，標準差為 \( \sigma = 20 \)。如果我們定義一個新的隨機變數 \( V = 2W + 3 \)，那麼 \( V \) 的期望值是多少？
討論：
為了求 \( V \) 的期望值，我們需要利用期望值的線性性質。已知 \( V = 2W + 3 \)，則：
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
基於期望值的線性性質，我們可以將常數項與隨機變數分開：
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
已知常數的期望值等於常數本身：
\[ E(3) = 3 \]
\( W \) 的期望值是常態分配 \( W \) 的平均數：
\[ E(W) = \mu = 75 \]
所以，
\[ E(V) = 2 \times 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
例題5：
隨機變數 \( Q \) 服從平均數為 \( \mu = 40 \)，標準差為 \( \sigma = 5 \) 的常態分配。如果 \[ U = Q/2 \]，那麼 \( Q \) 的期望值是多少？
討論：
我們使用與例 4 相同的原理，即期望值的線性性質。已知 \( U = Q/2 \)，則：
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
基於期望值的線性性質：
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
我們知道 \( Q \) 的期望值是常態分配 \( Q \) 的平均數：
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
所以，
\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
結論
在常態分佈中，隨機變數的期望值總是等於分佈的平均值 (µ)。以上範例問題展示了利用線性性質計算期望值的各種條件。理解這個基本概念有助於更輕鬆地處理統計學和機率論中的常態分佈問題。
常態分佈在統計學中至關重要，因為它被廣泛應用於各種實際應用中，包括假設檢定、參數估計以及其他各種統計推論。深入理解常態分佈的期望值是資料分析的重要第一步。
希望本文能清晰、有效地解釋常態分佈中的期望值，並提供相關的例題和討論。
