積矩相關性範例問題及討論
積矩相關係數（也稱為皮爾遜相關係數）是一種統計方法，用於衡量兩個變數之間線性關係的強度和方向。該方法在各個領域都非常有用，從學術研究和商業分析到自然科學實驗的評估。本文將討論幾個計算積矩相關係數的例題及其解法。
介紹
在講解例題之前，最好先了解積矩相關係數的基本概念。計算皮爾遜相關係數 (r) 的一般公式為：
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
迪瑪納：
– \( n \) 是資料對的數量。
– \( \sum{XY} \) 是 \( X \) 和 \( Y \) 的積之和。
– \( \sum{X} \) 是變數 \( X \) 的總和。
– \( \sum{Y} \) 是變數 \( Y \) 的總和。
– \( \sum{X^2} \) 是變數 \( X \) 的平方和。
– \( \sum{Y^2} \) 是變數 \( Y \) 的平方和。
皮爾遜相關係數 (\( r \)) 的值始終介於 -1 和 1 之間。正相關表示兩個變數朝著同一方向變化，而負相關表示一個變數增加時，另一個變數減少。如果 \( r = 0 \)，則表示兩個變數之間不存在線性相關性。
例題 1
數據
以下是5位學生的數學和物理考試成績數據：
| 學生 | 數學 (X) | 物理 (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
解決方法
1. 計算重要組成：
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. 將下列數字代入公式：
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. 計算結果：
– 分子：\( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
分母：
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
因此，數學和物理考試成績之間的皮爾森相關係數為 0.633，這表明這兩個變數之間存在中等程度的正相關關係。
例題 2
數據
以下是某公司過去六個月的銷售額和廣告支出數據：
| 月份 | 廣告支出 (X) | 銷售額 (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
解決方法
1. 計算重要組成：
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = (2300000503 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + (2500^2) = 40060000 + 500000 + 000000 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7200000 + 00000 10240000 = 45590000
2. 將下列數字代入公式：
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. 計算結果：
– 分子：\( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
分母：
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
因此，廣告支出與銷售額之間的皮爾森相關係數為 0.981，這表明這兩個變數之間存在非常強烈的正相關關係。
結論
皮爾遜相關係數 (\(r\)) 是理解兩個變數之間線性關係的一個非常有用的工具。在提供的範例中，我們將看到如何計算 \(r\) 值並解釋其含義。較高的相關係數（接近 1 或 -1）表示更強的關係，而較低的相關係數（接近 0）表示較弱的關係。需要注意的是，相關性並不意味著因果關係；它僅僅表明兩個變數之間存在某種關係。
