討論庫侖定律的例子
庫侖定律是物理學中的一項基本原理，它解釋了兩個電荷之間的作用力。該定律屬於靜電學的一個分支，闡述了電荷如何相互吸引或排斥。庫侖定律最早由法國物理學家查爾斯·奧古斯丁·庫侖於18世紀提出。本文將透過實例及其解答來探討庫侖定律，進而幫助讀者理解這項基本原理的實際應用。
理論基礎：什麼是庫侖定律？
庫侖定律指出，兩個點電荷 q₁ 和 q₂ 之間的靜電力 F 的大小與兩個電荷量的乘積成正比，與它們之間距離 r 的平方成反比。庫侖定律的數學公式可以表示為：
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
在哪裡：
– \( F \) 是靜電力的大小。
– \( k_e \) 是庫侖常數 (\( 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \))
– \( q_1 \) 和 \( q_2 \) 分別是電荷量的大小。
– \( r \) 是兩個電荷之間的距離
例題 1
問題 ：
有兩個點電荷：\( q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \) 和 \( q_2 = -3 \times 10^{-6} \, C \)。它們相距 0,05 公尺。計算這兩個電荷之間靜電力的大小。
討論 ：
第一步是改寫庫侖定律的公式：
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
現在我們將已知值代入公式：
\[ k_e = 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[ q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_2 = -3 \times 10^{-6} \, C \]
\[ r = 0,05 \, m \]
我們將這些值代入公式：
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{|2 \times 10^{-6} \cdot -3 \times 10^{-6}|}{(0,05)^2} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{6 \times 10^{-12}}{0,0025} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{6 \times 10^{-12}}{2,5 \times 10^{-3}} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \times 2,4 \times 10^{-9} \]
\[ F = 21.57 \, N \]
因為電荷 \( q_2 \) 為負，所以作用的靜電力是吸引力，因為正電荷和負電荷會互相吸引。
例題 2
問題 ：
兩個電荷 \( q_1 = 5 \times 10^{-9} \, C \) 和 \( q_2 = 10 \times 10^{-9} \, C \) 相距 0,1 公尺。計算作用在 \( q_1 \) 上的靜電力的大小。
討論 ：
再使用庫侖定律公式：
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
代入已知值：
\[ k_e = 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[ q_1 = 5 \times 10^{-9} \, C \]
\[ q_2 = 10 \times 10^{-9} \, C \]
\[ r = 0,1 \, m \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{(5 \times 10^{-9}) (10 \times 10^{-9})}{(0,1)^2} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{50 \times 10^{-18}}{0,01} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \times 5 \times 10^{-15} \]
\[ F = 44.9375 \, N \]
起作用的力是斥力，因為兩個電荷 \( q_1 \) 和 \( q_2 \) 的符號相同，即為正。
例題 3
問題 ：
三個點電荷位於一條直線上。第一個電荷為 \( q_1 = 2 \mu C \)，第二個電荷為 \( q_2 = -1 \mu C \)，第三個電荷為 \( q_3 = 3 \mu C \)。 \( q_1 \) 和 \( q_2 \) 之間的距離為 0,1 m，\( q_2 \) 和 \( q_3 \) 之間的距離為 0,2 m。計算作用在 \( q_2 \) 上的總靜電力的大小和方向。
討論 ：
首先，我們計算\( q_1 \)和\( q_2 \)之間的靜電力：
\[ F_{12} = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
\[ k_e = 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[ q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C \]
\[ r = 0,1 \, m \]
\[ F_{12} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{(2 \times 10^{-6}) (-1 \times 10^{-6})}{(0,1)^2} \]
\[ F_{12} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{2 \times 10^{-12}}{0,01} \]
\[ F_{12} = 8.9875 \times 10^9 \, \times 2 \times 10^{-10} \]
\[ F_{12} = 1.7975 \, N \]
由於 \( q_1 \) 為正，\( q_2 \) 為負，因此力 \( F_{12} \) 是指向 \( q_1 \) 的吸引力。
其次，我們計算\( q_2 \)和\( q_3 \)之間的靜電力：
\[ F_{23} = k_e \frac{|q_2 \cdot q_3|}{r^2} \]
\[ q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_3 = 3 \times 10^{-6} \, C \]
\[ r = 0,2 \, m \]
\[ F_{23} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{(-1 \times 10^{-6}) (3 \times 10^{-6})}{(0,2)^2} \]
\[ F_{23} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{3 \times 10^{-12}}{0,04} \]
\[ F_{23} = 8.9875 \times 10^9 \, \times 7.5 \times 10^{-11} \]
\[ F_{23} = 0.67406 \, N \]
由於 \( q_2 \) 為負，\( q_3 \) 為正，因此力 \( F_{23} \) 是指向 \( q_3 \) 的吸引力。
最後，我們將這兩種力量結合起來，得出最終結果：
作用在 \( q_2 \) 上的總力：
\[ F_{\text{total}} = F_{12} – F_{23} \]
\[ F_{\text{total}} = 1.7975 \, N – 0.67406\, N \]
\[ F_{\text{total}} = 1.12344 \, N \]
總力的方向指向 \( q_1 \)，因為力 \( F_{12} \) 大於 \( F_{23} \)。
結論
庫侖定律為我們理解電荷間的相互作用（包括吸引力和排斥力）提供了重要的見解。本文討論的例子顯示如何運用該定律，透過考慮電荷量和電荷間距來計算靜電力。深入理解庫侖定律有助於我們理解周遭發生的各種電磁現象。
