討論電力的範例問題
電力的定義是電荷間相互作用所產生的力。這種力是物理學，特別是電動力學領域的研究對象。從物體間的摩擦到電子設備的運行，許多日常現象反映了電力的影響。本文將探討幾個電力問題及其解決方案，並介紹與電力相關的主要概念。
電力簡介
兩個電荷之間的電場力由庫侖定律描述，其表達式為：
$$ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$
在哪裡：
– \( F \) 是兩個電荷之間的電場力。
– \( q_1 \) 和 \( q_2 \) 是電荷的大小。
– \( r \) 是兩個電荷之間的距離。
– \( k_e \) 是庫侖常數（約 \(8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2 / C^2\)）。
庫侖定律與牛頓萬有引力定律類似，但引力總是吸引力，而電力則取決於電荷的符號，可以是吸引力或排斥力。
範例問題及討論
問題 1：兩個相等的電荷
兩點電荷 \( q_1 = 3 \, \mu C \) 和 \( q_2 = -4 \, \mu C \) 相距 0.5 公尺。計算這兩個電荷之間的電場力。
討論：
1. 確定載重和距離：
– \( q_1 = 3 \, \mu C = 3 \times 10^{-6} \, C \)
– \( q_2 = -4 \, \mu C = -4 \times 10^{-6} \, C \)
– \( r = 0.5 \, m \)
2. 代入庫侖定律：
\[
F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
\]
\[
F = 8.99 \times 10^9 \, \frac{(3 \times 10^{-6})(4 \times 10^{-6})}{(0.5)^2}
\]
3. 計算結果：
\[
F = 8.99 \times 10^9 \, \frac{12 \times 10^{-12}}{0.25}
\]
\[
F = 8.99 \times 10^9 \times 48 \times 10^{-12}
\]
\[
F = 431.52 \times 10^{-3} \, N
\]
\[
F ≈ 0.432 N
\]
因此，這兩個電荷之間的電場力約為 0.432 牛頓。
問題 2：多重收費中的收費
三個點電荷，\( q_1 = 2 \, \mu C \)、\( q_2 = 3 \, \mu C \) 和 \( q_3 = -1 \, \mu C \) 位於一條直線上，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 之間的距離為 0.6 米，\( q_2 \) 和 \( q_2 \) 之間的距離為 0.6 米，\( q_2 \) 和 \( q_2 \) 之間的距離為 0.6 米，\( q_2 \) 和 \( q_3) \( 0.6 公尺，計算 \( q_2 \) 所受的合力。
討論：
1. 確定載重和距離：
– \( q_1 = 2 \, \mu C = 2 \times 10^{-6} \, C \)
– \( q_2 = 3 \, \mu C = 3 \times 10^{-6} \, C \)
– \( q_3 = -1 \, \mu C = -1 \times 10^{-6} \, C \)
– \( q_1 \) 和 \( q_2 \) 之間的距離為 0.6 米
– \( q_2 \) 和 \( q_3 \) 之間的距離為 0.4 米
2. 力 \( q_1 \) 對 \( q_2 \) 的作用力：
\[
F_{12} = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r_{12}^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{(2 \times 10^{-6})(3 \times 10^{-6})}{(0.6)^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{6 \times 10^{-12}}{0.36}
\]
\[
F_{12} = 8.99 \times 10^9 \times 16.67 \times 10^{-12}
\]
\[
F_{12} \approx 0.15 \, N
\]
力 \( F_{12} \) 的方向遠離 \( q_1 \)（向右）。
3. 力 \( q_3 \) 對 \( q_2 \) 的作用力：
\[
F_{32} = k_e \frac{|q_3 q_2|}{r_{32}^2}
\]
\[
F_{32} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{(1 \times 10^{-6})(3 \times 10^{-6})}{(0.4)^2}
\]
\[
F_{32} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{3 \times 10^{-12}}{0.16}
\]
\[
F_{32} = 8.99 \times 10^9 \times 18.75 \times 10^{-12}
\]
\[
F_{32} \approx 0.17 \, N
\]
力 \( F_{32} \) 的方向是向 \( q_3 \) 拉（向左）。
4. 合力：
由於 \( F_{12} \) 向右，\( F_{32} \) 向左，因此合力 \( F_{res} = F_{32} – F_{12} \):
\[
F_{res} = 0.17 N – 0.15 N
\]
\[
F_{res} = 0.02 \, N（左）
\]
因此，作用在 \( q_2 \) 上的合力為 0.02 牛頓，方向向左。
問題 3：三角形負載系統
三個點電荷 \( q_1 = 5 \, \mu C \), \( q_2 = -3 \, \mu C \), 和 \( q_3 = 4 \, \mu C \) 位於邊長為 0.2 公尺的等邊三角形的三個頂點上。計算作用在電荷 \( q_1 \) 上的總電場力。
討論：
1. 力 \( q_2 \) 對 \( q_1 \) 的作用力：
\[
F_{12} = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{(5 \times 10^{-6})(3 \times 10^{-6})}{(0.2)^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{15 \times 10^{-12}}{0.04}
\]
\[
F_{12} = 8.99 \times 10^9 \times 375 \times 10^{-12}
\]
\[
F_{12} \approx 3.37 \, N
\]
力 \( F_{12} \) 的方向是沿著 \( q_2 \) 方向的吸引力。
2. 力 \( q_3 \) 對 \( q_1 \) 的作用力：
\[
F_{13} = k_e \frac{|q_1 q_3|}{r^2}
\]
\[
F_{13} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{(5 \times 10^{-6})(4 \times 10^{-6})}{(0.2)^2}
\]
\[
F_{13} = 8.99 \times 10^9 \, \frac{20 \times 10^{-12}}{0.04}
\]
\[
F_{13} = 8.99 \times 10^9 \times 500 \times 10^{-12}
\]
\[
F_{13} \approx 4.50 \, N
\]
力 \( F_{13} \) 的方向與 \( q_3 \) 的方向相反，具有排斥性。
3. 合力：
我們需要使用向量法來求 \( F_{12} \) 和 \( F_{13} \) 的合力，因為力之間的夾角為 60 度（等邊三角形）。
利用 x 和 y 分量，我們可以確定總力。但是，為了簡單起見，我們將使用圖形方法或數值計算來發現總力大於 4.50 N，並且位於連接 \( q_2 \) 和 \( q_3 \) 到 \( q_1 \) 的直線之間的某個位置。
結論
透過以上例題和討論，我們可以理解如何利用庫侖定律來計算電場力。透過將問題分解成更簡單的步驟並運用向量原理，我們可以確定係統中每個電荷所受的總力。電場力雖然數學表達式簡單，但在實際應用上卻可能產生非常顯著且複雜的影響。
