機率分佈範例問題及討論
機率分佈是統計學和機率論中的基本概念之一。它用於理解隨機數取不同值的機率。機率分佈可以根據所分析資料的性質呈現多種形式。最常見的兩種機率分佈類型是離散型和連續型。本文將回顧幾個例題並討論機率分佈，以幫助我們更好地理解這個主題。
離散分佈
離散分佈是一種計算離散隨機變數（即只能取某些特定值的變數）機率的分佈。二項分佈和泊松分佈是離散分佈的著名例子。
例 1：二項分佈
二項分佈描述了一系列伯努利試驗中成功次數的分佈。每次伯努利試驗只有兩種結果：成功或失敗。成功的機率在整個試驗過程中保持不變。
問題：
一家製藥公司正在對 10 名患者進行新藥試驗。該藥物對任何一名患者有效的機率為 0.7。計算該藥物恰好對 10 名患者中的 7 名有效的機率。
討論：
隨機變數 \(X\) 服從二項分佈，其中 \(n = 10\) 和 \(p = 0.7\)。二項分佈的機率函數為：
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
對於 \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
計算二項式係數 \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
計算機率值：
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \approx 120 \times 0.0823543 \times 0.027 \]
\[ P(X = 7) \approx 0.231 \]
因此，該藥物對 10 名患者中的 7 名有效的機率約為 0.231 或 23.1%。
例 2：泊松分佈
泊松分佈用於模擬給定時間或空間間隔內罕見事件的發生次數。
問題：
一家商店平均每小時接待 4 位顧客。這家商店一小時內正好接待 5 位顧客的機率是多少？
討論：
隨機變數 \(X\) 服從參數為 \(\lambda = 4\) 的泊松分佈。泊松機率質量函數為：
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
對於 \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
數數：
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx 0.156 \]
因此，商店一小時內正好接待 5 位顧客的機率約為 0.156，即 15.6%。
連續分佈
當被測量的隨機變數可以在一定範圍內取任意值時，可以使用連續分佈。常態分佈和指數分佈是眾所周知的連續分佈的例子。
例 3：常態分佈
常態分佈，又稱高斯分佈，是科學、工程、經濟等各領域常用的分佈。
問題：
某城市成年男性的身高呈常態分佈，平均身高為 170 厘米，標準差為 10 厘米。隨機選擇一名男性，其身高在 160 公分到 180 公分之間的機率是多少？
討論：
我們需要計算身高 160 公分和 180 公分的 z 分數。 z 分數定義如下：
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
當 X = 160 時：
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
當 X = 180 時：
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
現在我們需要查看 z 表中從 -1 到 1 的機率值。 z = -1 到 z = 1 的值約為 0.6826。
因此，隨機選擇一名男子，其身高在 160 公分到 180 公分之間的機率約為 0.6826 或 68.26%。
例 4：指數分佈
指數分佈用於模擬泊松過程中事件之間的時間間隔。
問題：
商店裡兩位顧客到達之間的平均時間間隔為 15 分鐘。兩位顧客到達之間的時間間隔小於 10 分鐘的機率是多少？
討論：
指數分佈有一個參數 \(\lambda\)，它是平均值 (\(\mu\)) 的倒數。均值為 15 分鐘：
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
指數累積分佈函數為：
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
當 x = 10 時：
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \approx 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \approx 0.4866 \]
因此，兩位顧客到達之間的時間間隔小於 10 分鐘的機率約為 0.4866 或 48.66%。
結論
機率分佈，無論是離散分佈還是連續分佈，都是對隨機變數行為進行建模和理解的非常有用的概念。二項分佈和泊松分佈常用於描述離散變量，而常態分佈和指數分佈則是連續分佈的例子。
透過上述範例，我們希望您能更好地理解如何計算和解釋機率分佈中的機率。透過持續練習，您對機率分佈的理解能力將持續提高，並可將其應用於各個學科領域。
