常態分佈討論題範例
常態分佈，又稱高斯分佈，是統計學中最常使用的機率分佈。這種分佈呈對稱的鐘形，表示資料圍繞著平均值分佈，極端值（遠離平均值的值）出現的機率很低。
本文將討論涉及常態分佈的各種例題及其解法。我們將先介紹一些基本概念，然後逐步深入更複雜的例子。
常態分佈基礎知識
常態分佈是一種連續分佈，它有兩個參數：平均值和標準差（SD）。平均值決定了分佈的中心位置，而標準差決定了分佈的寬度。
常態分佈的重要特徵：
1. 對稱性：常態分佈關於平均數對稱。
2. 經驗法則（經驗法則）：
約 68% 的數據位於平均值的一個標準差範圍內。
約 95% 的數據位於平均值的兩個標準差範圍內。
約 99.7% 的數據位於平均值的三個標準差範圍內。
範例問題及討論
例題 1：計算 Z 分數
問題：一次考試的平均分為 70 分，標準差為 10 分。一名學生的考試成績為 80 分。該學生的 Z 分數是多少？
解決方案：
Z 分數衡量的是一個數值與平均值之間的標準差數。
Z 分數公式：
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
迪瑪納：
– \( X \) 是觀測值。
– \( \mu \) 是平均數。
– \( \sigma \) 是標準差。
我們都知道：
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
公式的應用：
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
因此，該學生的 Z 分數為 1，這意味著 80 分比平均值高出一個標準差。
例題 2：某個值的機率
問題：在平均數為 100，標準差為 15 的常態分佈中，找出小於 85 的值的機率是多少？
解決方案：
步驟如下：
1. 計算 X = 85 的 Z 分數：
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. 使用 Z 表或統計計算器找出 Z 分數為 -1 對應的機率。在 Z 表中，Z 分數為 -1 的機率約為 0.1587。
因此，找到低於 85 的值的機率為 0.1587 或 15.87%。
例題 3：運用經驗法則
問題：已知學校數學考試成績的分佈服從常態分佈，平均分為 75，標準差為 8。有多少比例的學生得分在 67 分到 83 分之間？
解決方案：
蘭卡-蘭卡:
1. 計算數值 67 和 83 的 Z 分數：
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. 根據經驗規律，平均值 -1 SD 到 +1 SD 之間的數值涵蓋了約 68% 的人口。
因此，得分在 67 分到 83 分之間的學生比例約為 68%。
例題 4：根據百分位數計算數值
問題：如果一個國家成年男性的平均身高為 175 厘米，標準差為 7 厘米，那麼第 90 個百分位數的身高是多少？
解決方案：
蘭卡-蘭卡:
1. 求與第 90 百分位數對應的 Z 分數。根據 Z 分數表，最接近 0.9000 的 Z 分數約為 1.28。
2. 使用公式計算 \( X \) 的值：
\[ X = \mu + Z \times \sigma \]
\[ X = 175 + 1.28 \times 7 \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
因此，第 90 個百分位的身高約為 183.96 公分。
例題 5：某個區間的機率
問題：已知新生兒體重的分佈服從平均值為 3.5 kg、標準差為 0.5 kg 的常態分佈，那麼嬰兒體重在 3 kg 到 4 kg 之間的機率是多少？
解決方案：
蘭卡-蘭卡:
1. 計算體重為 3 kg 和 4 kg 的 Z 分數：
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. 根據 Z 表，Z 分數介於 -1 和 1 之間的機率約為 0.6826 或 68.26%。
因此，嬰兒體重在 3 公斤到 4 公斤之間的機率約為 68.26%。
結論
常態分佈是統計學中的一個基本概念，它至關重要，並在現實世界中有廣泛的應用。本文解釋了常態分佈的基本概念，並透過幾個例子加深了我們對它的理解。
理解常態分佈不僅對統計學至關重要，對心理學、經濟學和其他社會科學等許多實際領域也同樣重要。透過足夠的練習，解決常態分佈問題會變得更加直觀，並有助於數據驅動的決策。
