二項分佈範例題及討論
二項分佈是最常用的離散機率分佈之一。它適用於模擬多次獨立重複試驗中成功次數的分佈，每次試驗的結果要不是成功，就是失敗。本文將透過幾個例子和詳細的討論，深入探討二項分佈。
二項分佈簡介
二項分佈的主要特徵：
1. n：試驗或重複次數。
2. p：每次試驗成功的機率。
3. q = 1-p：每次試驗失敗的機率。
二項分佈的機率質量函數為：
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
在哪裡：
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): 表示成功次數的隨機變數。
– \( k \): 所尋求的成功次數。
範例問題及討論
讓我們從一些例題開始，更詳細地了解二項分佈的概念。
例1：從一組學生中進行選擇
例如，假設我們有 10 名學生，每個學生被選中參加比賽的機率是 0,3。我們想知道恰好選中 4 名學生的機率。
步驟 1：確定二項分佈的參數。
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
步驟 2：使用二項分佈計算 \( X = 4 \) 的機率。
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
計算 \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
現在計算 \( (0.3)^4 \) 和 \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
因此，
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
因此，恰好選出 4 名學生的機率約為 0.20012 或 20.012%。
例2：機率小於或等於2
例如，現在我們被問到選中的學生人數少於或等於 2 人的機率是多少。
步驟 1：我們需要計算 \( P(X = 0) \)、\( P(X = 1) \) 和 \( P(X = 2) \)。
– 對於 \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– 對於 \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– 對於 \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
步驟 2：計算機率。
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
因此，選中少於或等於 2 名學生的機率約為 0.7740671 或 77.41%。
例3：至少8的機率
如果一項實驗進行了 12 次，每次實驗成功的機率為 0.5，那麼至少成功 8 次的機率是多少？
步驟 1：設定二項式參數：\( n = 12, p = 0.5 \)。
步驟 2：求 \( X \geq 8 \) 的機率。
這需要計算多個單獨的機率並將它們相加：
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
逐一計數：
– 對於 \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– 對於 \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– 對於 \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– 對於 \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– 對於 \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
步驟 3：將所有機率相加。
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \approx 0.1938477 \]
因此，在 12 次試驗中至少發生 8 次成功的機率約為 0.1938477 或 19.38%。
結論
二項分佈是統計學中的一個基本概念，在許多實際應用中至關重要。透過理解如何計算二項分佈各種情況的機率（如上例所示），我們可以將此概念應用於現實情境中。此外，本練習也有助於我們在清晰系統的框架下理解機率結構。
