相關性分析的範例問題與討論
相關分析是一種用於確定兩個變數之間關係程度的統計方法。這種分析方法廣泛應用於經濟學、心理學、醫學和社會學等各個學科，以了解兩個變數之間的關聯程度。本文將透過幾個實例問題和討論，幫助讀者理解相關分析的概念。
理解相關性分析
相關分析用於衡量兩個數值變數之間關係的強度和方向。這種相關性通常以相關係數表示，其取值範圍為-1到1。這些值可以解釋如下：
– +1：完全正相關。兩個變數朝著同一方向變化。
– 0：無相關性。這兩個變數之間沒有明顯的線性關係。
-1：完全負相關。兩個變數的變化方向相反。
最常用的相關係數是皮爾遜相關係數。然而，還有其他相關方法，例如斯皮爾曼相關係數和肯德爾相關係數，它們更適合用於有序數據或非線性數據。
相關性分析步驟
1. 資料收集：收集待分析的兩個變數的資料。
2. 資料視覺化：建立散點圖以查看兩個變數之間的關係模式。
3. 相關係數的計算：計算皮爾遜相關係數、斯皮爾曼相關係數或肯德爾相關係數。
4. 結果解釋：根據相關係數值得出關係強度和方向的結論。
5. 顯著性檢定：確定所發現的相關性是否具有統計意義。
範例問題及討論
問題 1：皮爾遜相關性
已知5個人的身高（公分）和體重（公斤）數據如下：
| 人名 | 身高（公分） | 體重（公斤） |
|——-|————-|————|
| A | 160 | 55 |
| B | 165 | 60 |
| C | 170 | 65 |
| D | 175 | 70 |
| E | 180 | 75 |
計算數據的皮爾遜相關係數。
討論：
1. 計算平均值：
平均身高 (X̄) = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170
平均重量 (Ȳ) = (55 + 60 + 65 + 70 + 75) / 5 = 65
2. 計算與平均值的偏差：
– 高偏差：（160 – 170），（165 – 170），（170 – 170），（175 – 170），（180 – 170）
– 嚴重偏差：（55 – 65），（60 – 65），（65 – 65），（70 – 65），（75 – 65）
3. 計算偏差乘積：
– (160-170)(55-65) = 10 10 = 100
– (165-170)(60-65) = 5 5 = 25
– (170-170)(65-65) = 0 0 = 0
– (175-170)(70-65) = 5 5 = 25
– (180-170)(75-65) = 10 10 = 100
總計 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
4. 計算偏差的平方：
– 身高：(160-170)²、(165-170)²、(170-170)²、(175-170)²、(180-170)²
– 重量：(55-65)²、(60-65)²、(65-65)²、(70-65)²、(75-65)²
身高：
– (160-170)² = 100
– (165-170)² = 25
– (170-170)² = 0
– (175-170)² = 25
– (180-170)² = 100
總計 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
重量方面：
– (55-65)² = 100
– (60-65)² = 25
– (65-65)² = 0
– (70-65)² = 25
– (75-65)² = 100
總計 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
5. 計算皮爾遜相關係數：
\[
r = \frac{\sum ((X – X̄)(Y – Ȳ))}{\sqrt{\sum (X – X̄)² \sum (Y – Ȳ)²}}
\]
\[
r = \frac{250}{\sqrt{250 \times 250}} = \frac{250}{250} = 1
\]
解釋：皮爾遜相關係數為 1 表示身高和體重之間有完全正相關關係。
問題 2：斯皮爾曼相關性
已知兩個變數的排名數據如下：
| 人 | 變數 X | 變數 Y |
|——-|————|————|
| A | 1 | 3 |
| B | 2 | 1 |
| C | 3 | 4 |
| D | 4 | 2 |
| E | 5 | 5 |
根據數據計算斯皮爾曼相關係數。
討論：
1. 排名差異 (d) 的計算：
– 對 X 和 Y 進行排名：
– A：1 – 3 = -2
– B：2 – 1 = 1
– C：3 – 4 = -1
– D：4 – 2 = 2
– E：5 – 5 = 0
2. 計算排名差異平方 (d²)：
– (-2)² = 4
– (1)² = 1
– (-1)² = 1
– (2)² = 4
– (0)² = 0
總計 (Σd²) = 4 + 1 + 1 + 4 + 0 = 10
3. 計算斯皮爾曼相關係數：
\[
r_s = 1 – \frac{6 \sum d^2}{n(n^2 – 1)}
\]
\[
r_s = 1 – \frac{6 \times 10}{5(5^2 – 1)} = 1 – \frac{60}{120} = 1 – 0.5 = 0.5
\]
解釋：斯皮爾曼相關係數為 0.5，表示變數 X 和 Y 之間存在中等程度的正相關關係。
結論
從上述例子可以看出，相關性分析可以用來確定兩個變數之間關係的強度和方向。皮爾遜相關係數用於具有線性關係的數值數據，而斯皮爾曼相關係數用於有序或非線性數據。透過理解和掌握這些技巧，我們可以更好地分析數據，並在各個研究領域中做出更準確的推論。
