力所做的功
1.1 工作定义
如果你用力推动桌面上的一本书，直到书页发生位移，就说你对书做了功。如果一个物体由于重力作用而落到地面，就说重力对物体做了功。相反，如果你使出浑身解数推动一个物体，甚至汗流浃背，但物体纹丝不动，就说你没有对物体做功。在日常生活中，人们可能会说你通过推动物体做了努力，但在物理学中，你并没有对物体做功，因为物体没有发生位移。
对物体做功的力可以是恒力（大小和方向恒定）或变力（大小和方向变化）。恒力的一个例子是引力，当物体靠近地面时，引力作用于物体。当物体在地面附近自由落体时，由于作用于物体的引力大小和方向恒定，物体的自由落体加速度的大小和方向也恒定。变力（但方向恒定）的一个例子是弹簧力。另一个例子是火箭发射到太空或返回地球表面。当火箭发射时，作用于火箭的引力大小与其到地心的距离的平方成反比。
1.1.1恒力所做的功
从数学角度来说，恒力对物体所做的功定义为位移乘以力或力的分力（分力的方向与物体位移方向相同）。观察一个位于粗糙平面上的物体，该物体在推力 (F) 的作用下向右发生位移。
图 1.（上）物体的位移方向与力 F 的方向相同。（下）物体的位移方向与力 F 在水平方向上的分量（F cos）相同。
推力（F）所做的功为：
W = (F)(s)(cos θ) = F s (cos 0) = F s (1)
W = F s
力 F 在水平方向上的分力 (F cos θ) 所做的功为：
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos )(s)(1)
W = F s cos θ
动摩擦力（f k ）所做的功为：
W = (f k )(s)(cos 180) = (f k )(s)(-1)
W = – (f k )(s)
正压力（N）所做的功为：
W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0
重力所做的功（w）为：
W = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0
说明：W = 功，s = 位移量，θ = 力与位移之间的角度。
图2。
（a）物体处于自由落体状态。重力方向与位移方向相同。（b）物体垂直向上运动。重力方向与位移方向相反。
在前一种情况下，由于物体重力的方向与物体位移的方向垂直，因此重力所做的功 (w) 为零。需要注意的是，如果重力的方向与物体位移的方向相同或相反，则重力所做的功不为零。
如图a所示，自由落体物体受到重力（w）作用所做的功为：
W = F s (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
如图 b 所示，物体在重力作用下（w）向上做功，物体沿垂直方向向上运动。
W = F s (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
说明：w = 重量（牛顿），h = 高度（米），m = 质量（千克），g = 重力加速度（米每平方秒）。
根据前面的解释，可以得出以下结论：第一，如果物体没有发生位移，则作用在物体上的力不做功。如果位移 s = 0，则功 W = 0；第二，如果力与物体的位移方向成一定角度，则只有与物体位移方向相同的力分量对物体做功；第三，垂直于物体位移方向的力与位移方向成 90 °角。cos 90° = 0；第四，功的符号可以是正也可以是负。如果力与物体的位移方向相同且成 0 °角，则力对物体做正功。相反，如果力与物体的位移方向相反且成 180 °角，则力对物体做负功。
图 3. 力 (F) – 位移 (s) 图。阴影部分所代表的面积等于所做的功。
当物体发生位移时，恒力对物体所做的功等于力（F）-位置（s）图中阴影部分的面积。
功用大写字母 W 表示，重量用小写字母 w 表示。功的国际单位制单位是牛顿·米 (N·m)。它与焦耳（J）等效。
它以此命名，是为了纪念19世纪英国医生詹姆斯·普雷斯科特·焦耳。
例题1：恒力所做的功
一个物体静止在光滑的地面上。对该物体施加一个 10 N 的力，该力与地面成 30° 角。如果物体移动了 1 米，那么该力对物体做了多少功？
解决方案：
已知：F = 10 N，s = 1 米
招聘：工作（W）
W = (F)(s)(cos 30 ° ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N·m
例题2：恒力做功
一个质量为 0.2 kg 的椰子从离地面 10 米的高度自由落体。如果重力加速度为 10 m/s² ，那么椰子的重力对其做了多少功？
解决方案：
已知：m = 0.2 kg，h = 10 m，g = 10 m/ s²
招聘：按体重（w）计件的工人（W）
W = F s = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 20 kg m 2 /s 2 = 20 N m = 20 焦耳
1.1.2 变力做功
弹簧力就是一个变力的例子。弹簧力的大小不断变化。因此，弹簧力对物体所做的功不能用恒力做功公式（W = F s cos θ）来计算。如果拉伸弹簧，拉伸的程度越大，所需的拉力就越大。如果压缩弹簧，压缩的程度越大，所需的推力就越大。当弹簧被压缩或拉伸时，弹簧力从 0 (x = 0) 变化到最大值 (F = kx)。因此，弹簧力的大小需要用平均值来计算。弹簧力的平均值为：
弹簧力对物体所做的功为：
W = 功，x = Δx = 弹簧位移（米），F = 弹簧力（牛顿）。
例题 3：变力做功
一根弹簧上悬挂着一个质量为 1 kg 的重物，弹簧伸长了 2 cm。如果重力加速度为 10 m/s² ，求：(a) 弹簧的劲度系数；(b) 弹簧力对重物所做的功。
解决方案：
已知：m = 1 kg，g = 10 m/s² ， x = Δx = 2 cm = 0.02 m。
（a）弹簧常数
（b）弹簧力对重物做了功
W = -1/2 kx 2 = -1/2 (500)(0.02) 2 = – (250)(0.0004) = -0.1 焦耳
弹簧力对重物所做的功为负值，因为弹簧力的方向与重物位移的方向相反（弹簧力向上，重物向下）。
1.2 合力做功或合力做功
如果物体发生位移时只有一个力作用于该物体，则合力所做的功等于该力所做的功。例如，如果物体处于自由落体状态且忽略空气阻力，则作用于该物体的唯一力是重力。在这种情况下，作用于该物体的合力就是重力（见图2）。
W净= W重力
如果物体发生位移时受到某些力的作用，则合力所做的功等于作用于物体上的所有力所做的合功（见图 1）。
W净值= W 1 + W 2 + W 3 + W 4
也可以先求出合力，然后将其乘以位移量来计算合力对物体所做的功。
W = ΣF s
例题 4：网络
一个静止在地面上的箱子受到 20 N 的力推动，移动了 1 米。如果推力方向与箱子的位移方向相同，并且箱子受到 2 N 的动摩擦力，求作用在箱子上的合力所做的净功。
解决方案：
已知：F = 20 N，f <sub>k</sub> = 2 N，s = 1 m
W1 = Fs = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 焦耳
W 2 = f k s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 焦耳
净功或合力所做的功
W净值= W 1 – W 2 = 20 J – 2 J = 18 J
例题 4）推力 (F) 做正功，动摩擦力 (f k ) 做负功
