保守力所做的功 势能
观察一个物体垂直向上运动，到达最高点后返回初始位置的过程。当物体垂直向上运动时，重力对物体做负功。物体向上运动时，其高度增加。因此，物体的重力势能也随之增加。由此可以得出结论：重力所做的负功等于物体重力势能的增加量。
W = – mgh
W = – mg (h 2 – h 1 ) = – (PE 2 – PE 1 ) = -ΔPE
当物体垂直向下运动时，重力对物体做正功。物体垂直向下运动时，其高度降低。因此，物体的重力势能也降低。由此可知，重力对物体所做的正功等于物体重力势能的减少量。
W = mgh
W = mg (h 1 – h 2 ) = mgh 1 – mgh 2 = – (mgh 2 – mgh 1 ) = – (PE 2 – PE 1 ) = -ΔPE
观察一个物体，它被弹簧的一端向左挤压（见图3）。当物体向左运动时，弹簧力对物体做负功。物体向左运动时，弹簧的位移增大，因此弹簧的势能也增大。由此可知，弹簧所做的负功等于弹簧势能的增加量。当物体向右运动时，弹簧力对物体做正功。物体向右运动时，弹簧的位移减小，因此弹簧的势能也减小。由此可知，弹簧对物体所做的正功等于弹簧势能的减少量。
根据以上解释，保守力所做的功等于物体势能的变化。当保守力做正功时，势能减小；反之，当保守力做负功时，势能增大。因此，保守力所做的功等于势能的负变化量。
W c = -ΔPE
例题 6：保守力做功和势能
一个质量为 1 kg 的物体位于离地面 5 米的高度。重力加速度为 10 m/s² 。求：(a) 物体被移动到离地面 10 米的高度时，重力所做的功；(b) 将物体移动到离地面 10 米的高度所需的功；(c) 物体被移动到离地面 10 米的高度时，其重力势能的变化。
讨论：
已确定：m = 1 kg，g = 10 m/s 2，
（a）按重量做功
W = – mg Δh
= – (1 kg)(10 m/s 2 )(5 m) = – 50 焦耳
重力做负功，因为重力的方向与物体位移的方向相反。
（重力方向向下，物体的位移方向向上）。
（b）升力做功
为了能够提起物体，最小提升力必须等于物体的重量。
= (1 千克)(10 米/秒² )(5 米) = 50 焦耳
W = wh = mg Δh
升力所做的功为正，因为力的方向与位移的方向相同。
（力提升方向向上，位移方向向上）
（c）势能变化
ΔPE = mg Δh
ΔPE = 50 焦耳
物体的引力势能增加了 50 焦耳。
关于保守力做功和势能的20个概念性问答：
1. 问：什么是保守力？答：保守力是指做功与运动路径无关的力。
2. 问题：保守力所做的功与势能的变化有何关系？答案：保守力所做的功等于势能的负变化量。
3. 问题：请举一个常见的保守力的例子。答案：万有引力是常见的保守力的例子。
4. 问：为什么摩擦力不被认为是保守力？答：因为摩擦力所做的功取决于物体所处的路径。
5. 问题：地球表面附近物体的重力势能如何表示？答案：重力势能表示为ℎ ，其中 m 为质量，g 为重力加速度，h 为物体相对于参考点的高度。
6. 问：势能可以是负值吗？答：是的，势能可以是负值，这取决于参考点的选择。
8. 问题：如果一个系统的势能增加，假设没有外部做功，那么动能会发生什么变化？答案：动能减少的量与势能增加的量相同，这符合机械能守恒定律。
9. 问：机械能守恒的条件是什么？答：当只有保守力作用于一个系统时，机械能守恒。
10. 问题：在一个只有保守力作用的封闭系统中，关于总机械能可以得出什么结论？答案：总机械能保持不变。
11. 问题：如何确定电场中电荷的势能？答案：势能，其中 q 为电荷量，V 为电势。
12. 问：为什么在重力场中提升物体会增加其势能？答：因为提升物体需要克服重力做功，这些功就以势能的形式储存起来。
13. 问题：保守力在闭合回路中如何做功？答案：保守力在闭合回路中所做的净功为零。
14. 问：势能与稳定性有何关系？答：在势能最小的点，系统是稳定的。
15. 问：两个高度不同的物体可以具有相同的重力势能吗？答：可以，这取决于势能的参考水平面的选择。
16. 问：为什么我们通常选择地面作为重力势能的参考点？答：虽然任何一点都可以作为参考点，但地面提供了一个方便且易于理解的参考点。
17. 问题：在一个只有保守力的孤立系统中，如果势能减少 10 J，动能变化多少？答案：动能增加 10 J。
18. 问：在保守场中，势能与力之间有什么关系？答：力是势能的负梯度。
19. 问：如果一个物体沿保守力的方向运动，它的势能如何变化？答：它的势能减小。
20. 问：物体有可能具有动能但势能为零吗？答：是的，这取决于势能的参考点的选择。
这些问答涵盖了保守力和势能的基本概念，它们是经典力学不可或缺的一部分。
