伯努利原理和伯努利方程的应用

本文探讨了伯努利原理和伯努利方程的应用。

托里切利定理

伯努利方程的一个用途是计算液体从容器底部流出的速度（见图）。

我们在点 1（容器表面）和点 2（孔表面）应用伯努利方程。由于容器底部孔的直径远小于容器的直径，因此容器表面上液体的速度被视为零（v₁ ₌ 0）。容器表面和孔表面是开放的，因此压力等于大气压（P₁ ₌ P₂ _）。因此，这种情况下的伯努利方程为：

如果我们想计算容器底部小孔中液体的流速，则该方程变为：

流体的密度相同，因此 ρ 可以消除。

根据这个方程，从容器表面算起的小孔中水的流速与……相同

水自由落体高度为 h 时的流速（与自由落体运动进行比较）。这就是著名的托里切利定理。该定理由伽利略的学生托里切利发现，比伯努利发现该方程早了一个世纪。

文丘里效应

除了托里切利定理之外，伯努利方程还可以应用于其他特殊情况，即流体在高度几乎相同的管道段中流动的情况。为了更好地理解这一点，请观察下图。

从上图中可以看出，管道的高度，包括管道横截面积较大的部分，以及

管道中截面面积较小的部分长度几乎相同，因此高度也相等。在这种情况下，伯努利方程变为：

当流体流经管道的一小部分（A2 _）时，流速增加。根据伯努利原理，流体速度增加时，流体压力会减小。因此，管道狭窄部分内的流体压力较低，但流速较高。

这就是所谓的文丘里效应，它定量地表明，如果流体流速高，流体压力就会降低；同样地，如果流体流速低，流体压力就会升高。

文丘里流量计

文丘里效应的一个有趣应用是文丘里流量计。这种仪器用于测量流体的流量，例如计算水或油在管道中的流速。文丘里流量计有两种类型：一种是不带压力计的文丘里流量计，另一种是带有压力计的文丘里流量计，压力计内装有其他液体，例如汞。它们的工作原理相同。

没有压力表的文丘里流量计

下图所示为文丘里流量计，用于测量管道中液体的流量。

当液体流经管道的一小段（A2 _）时，液体流速增加。根据伯努利原理，如果流体流速增加，液体的压力就会减小。因此，大段管道中的液体压力大于小段管道中的液体压力（P1 _> P2 _）。相反，_v2 > _v1

因为 P1 _> P2_且v2 _> v1 _，所以该方程可以改写为：

方程式1。

连续性方程：

方程式2。

所求的是大横截面上的液体流速（v1 _）。我们将公式 1 中的_v2替换为公式 2 中的_v2。

方程式3。

要计算某一深度处的流体压力，请使用以下公式：

p = ρgh → 方程 a

如果流体密度差异很小，则可使用此公式确定不同高度处的压力差。因此，公式 a 可以改为：

Δp = ρgΔh

对于上述情况，该等式可以改为：

p ₁ − p ₂ = ρ gh → 方程 b

现在我们将方程 3 中的p ₁ – p _2替换为方程 b 中的p ₁ – p _{2 ：}

因为液体性质相同，所以密度也相同。从方程中消去ρ。

皮托管

如果使用文丘里流量计测量液体的流量，则使用皮托管测量气体或空气的流量。1 号点的孔与气流方向平行。这两个孔的位置距离皮托管末端足够远，使得孔外空气的流量和压力与自由流动​​空气的流量和压力相同。在这种情况下，v₁ = 自由流动空气的流量（这是我们要测量的）和压力计左脚（左侧管道）上的压力 = 自由流动空气压力 (P)。₁).

压力计右脚处的孔垂直于气流方向。因此，流经此孔（中间孔）的空气流速逐渐降低，并在到达点 2 时停止。此时，v₂ = 0。压力计右脚处的压力等于点 2 处的气压 (P₂)。点 1 和点 2 的高度几乎相同（差异不大_），_因此可以忽略不计。

压力差 (P₂ _– P₁ ₎ = 压力计中液体的静水压力（压力计中的黑色部分是液体，即水银）。数学表达式为：

p ₂ – p ₁ = ρ 'gh → 方程 2

ρ' = 压力计中液体的密度

等式 1 和等式 2。左侧线段相同 (P2 _– P1 ₎ 。因此，等式 1 和等式 2 可以改写为：

用滴管喝

你用滴管喝过水吗？当我们用滴管吸水时，滴管内的空气流动速度会加快。在这种情况下，靠近我们嘴边的滴管内的空气速度更快，导致该段滴管内的气压降低。而靠近水面的滴管内的空气速度较慢，因此气压更高。正是这种气压差使得水能够流入我们的口中。在这种情况下，液体会从滴管内气压较高的部分流向气压较低的部分。

烟囱

你见过烟囱吗？为什么烟能从烟囱里向上冒呢？首先，燃烧产生的烟气温度很高。由于温度高，空气密度小。密度小的空气容易漂浮或向上移动。原因不仅如此，伯努利原理也与此有关。

其次，伯努利原理指出，如果气流速度高，压力就会降低；反之，如果气流速度低，压力就会升高。烟囱顶部位于室外，有风吹过烟囱顶部，因此周围的气压较低。在封闭的房间里，没有风吹，所以气压较高。因此，烟雾会从烟囱排出。空气总是从气压高的地方流向气压低的地方。

地面上的鼠洞

请注意下图。这是地面上一个老鼠洞的示意图。老鼠也懂得伯努利原理。为了避免因呼吸困难而死，老鼠会挖两个高度不同的洞。由于地面高度的差异，两个洞内的空气会发生碰撞。这就像水从大直径管道流向小直径管道一样。因此，空气流速增加，气压降低。

由于气压存在差异，空气会被迫流过鼠洞。空气从气压高的地方流向气压低的地方。

飞机机翼和动态升力

飞机飞行的一个关键因素是机翼。机翼呈弧形，前缘比后缘厚。这种机翼形状被称为翼型。这种设计灵感来源于鸟类的翅膀。鸟类的翅膀形状也与此类似（鸟类的翅膀呈弧形，前缘较厚）。不同之处在于，鸟类的翅膀可以拍动，而飞机的机翼则不能。鸟类之所以能够飞行，是因为它们拍动翅膀，使气流能够流过机翼两侧。而飞机要使气流流过机翼两侧，就必须推动飞机前进。人类使用机械装置来驱动飞机。

机翼前缘设计成向上弯曲。下方的气流与上方的气流相互碰撞，就像水从大截面管道流向小截面管道一样。结果，机翼上方的气流速度加快，因为气流速度加快时，气压会降低。相反，机翼下方的气流速度较慢，因为气流没有受到碰撞（气压较高）。这种压力差的存在，使飞机机翼产生升力。

伯努利原理只是其中一个因素。另一个原因是动量。通常情况下，飞机机翼会略微向上倾斜。撞击机翼下表面的气流会向下偏转。由于飞机左右两侧各有一个机翼，向下偏转的气流会相互碰撞。碰撞产生的空气分子动量变化会产生额外的升力。

因为机翼的形状向下弯曲至尾部，迫使空气再次向下流动。根据牛顿第三定律，有作用力就一定有反作用力。由于机翼迫使空气向下流动，空气必然会迫使机翼向上运动。在这种情况下，空气对机翼产生升力。因此，飞机升力的产生并非仅仅源于伯努利原理。