伯努利原理和伯努利方程

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我们骑摩托车时，身上的衣服会被向后吹得鼓鼓囊囊的。有时候，如果风刮得很大，门会自己关上。虽然风是从屋外吹的，但门却在屋里。

这可以用伯努利原理来解释。丹尼尔·伯努利（1700-1782）发现了一个可以用来解释上述现象的原理。

伯努利原理

伯努利原理指出，流体流动速度越快，流体压力越低；反之，流体流动速度越慢，流体压力越高。当摩托车快速行驶时，身体前方和侧面的气流速度很高，因此气压较低。由于身体前方气流的阻挡，背部的气流速度不会很高，导致背部气压较高。由于前后气压存在差异，背部气压高于身体其他部位，空气会将衣服向后推，使衣服看起来向后鼓胀。

那么，当风吹向屋外时，那扇会自动关上的门是怎么回事呢？屋外的空气流动速度比屋内的空气流动速度快。因此，屋外的气压比屋内的气压小。由于存在气压差，屋内气压较高的地方，门就会被推开。换句话说，门扇会从气压高的地方向气压低的地方移动。

伯努利方程

之前我们学习了伯努利原理。伯努利也对该原理进行了定量推导。为了推导伯努利方程，我们假设流体流动是稳定层流、未压缩的，并且粘度极小，可以忽略不计。

在讨论连续性方程时，我们了解到流体流量也会随流通管的流通面积而变化。基于上述伯努利原理，流体压力也会随流体流量而变化。此外，流体压力还会随流体高度而变化。压力、流量和流体高度之间的关系可以通过伯努利方程来描述。

伯努利方程至关重要，因为它可用于分析飞机飞行、水力发电厂、管道系统等。为了推导伯努利方程的一般形式，我们假设流体流经一个横截面积和高度均不相同的流动管道。为了推导伯努利方程，我们将功和能定理应用于流动管道中的流体。

下图所示流动管中的不透明部分表示流体流动，而白色部分表示没有流体流动。

横截面区域 1（左侧）内的流体流动至 L1 _，并迫使横截面区域 2（右侧）内的流体流动至 L2 _。由于右侧横截面区域 2 较小，因此流体在流动管右侧的流速较大（回想一下连续性方程）。这导致横截面区域 2（流动管右侧）和横截面区域 1（流动管左侧）之间产生压力差——回想一下伯努利原理。位于横截面区域 1 左侧的流体对右侧的流体施加压力 (P1) 并做功_：

那么 W1_方程可以写成：

W ₁ = p ₁ A ₁ L ₁

在第 2 段（流动管的右侧），流体所做的功为：

W ₂ = − p ₂ A ₂ L ₂

负号表示所施加的力与运动方向相反。因此，流体在截面 2 右侧做功。此外，重力也对流体做功。在上述情况下，部分流体质量从截面 1 的 L1 处转移到截面 2 的 L2 处_，其中 V1 = _V2是截面 1 中流体的体积 (A1L1 _{) ，} V2是截面 2 中流体的体积 (A2L2 _{) 。}重力所做的功为：

W ₃ = − mg (h ₂ − h ₁ )

W ₃ = − mgh ₂ + mgh ₁ )

W ₃ = mgh ₁ − mgh ₂

负号是由于流体向上流动（与重力方向相反）造成的。因此，流体所受的净功为：

W = W ₁ + W ₂ + W ₃

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

动能定理指出，作用于系统的净功等于动能的变化。因此，我们可以用动能的变化（EK2 – EK1）来代替功_（W _）。

上面的方程可以重新写成：

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ - EK₁ = P.₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2毫伏₂² – 1⁄2 mv₁² = P.₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

流经 L 的流体质量₁ 在横截面 A 中₁ = 流经 L 处的流体质量₂ （横截面 A）₂假设流体的质量为 m，其体积为 A。₁ L₁ 和A₂ L₂ 其中一个₁ L₁ = A.₂ L₂ (L₂ 比 L 长₁).

现在我们将上述方程中的 m 替换为 m = ρ AL：

这就是伯努利方程。伯努利方程是基于动能原理推导出来的，因此它是能量守恒的一种形式。

P = 压力，ρ = 密度，v = 流体速度，g = 重力加速度，h = 管道离地面的高度。

上述伯努利方程的左右两部分可以指代流管内任意两点，因此我们可以将上述方程改写为：

现在让我们回顾一下伯努利方程的一些应用情况。

静止流体中的伯努利方程

伯努利方程的特殊情况是流体静止，即流体速度为零。因此，v₁ ₌ v₂ ₌ 0。对于静止流体，我们可以将伯努利方程表述为：

如果 h₂ _– h₁ ₌ h，则该方程可以写成：

p ₁ − p ₂ = ρ g (h ₂ − h ₁ )

p ₁ − p ₂ = ρ gh

同高管道上的伯努利方程

如果管道高度相同，则伯努利方程变为：