向量的加法

关于向量加法的文章

1. 矢量和标量的数量

除了基本物理量和导出物理量之外，物理量还可以分为另外两种类型：标量和矢量。质量、距离、时间和体积等物理量是标量，它们只有大小而没有方向。而位移、速度、加速度和力等物理量是矢量，它们既有大小又有方向。

a.标量和矢量之间的区别

如果你说一个球的质量是400克，这句话就足以让你知道球的质量。你不需要知道方向就能算出球的质量。时间、温度、体积、密度等等也是如此。有很多物理量不能只用大小来表示。如果你说一个孩子移动了100米，这句话还不够。你可能会问，他往哪个方向移动了？是北、南、东还是西？同样地，如果你说你用200牛顿的力推桌子，

你开车去哪儿？这类量被称为矢量，需要解释其大小和方向。位移、加速度、冲量、动量等都是矢量。学习与这些量相关的课题时，你会理解得更透彻。

b. 画一个向量

矢量用箭头表示。箭头始终指向矢量的方向。箭头的长度表示矢量的大小。例如，图中所示力 (F) 的大小为 2 N，方向指向东北，即绕x 轴成45 ^{° 角。}

c.向量的量表示规则

书写向量时，如果手写，向量符号通常用大写斜体书写，并在上方添加箭头。印刷书籍中，向量符号则用粗体大写字母书写，例如F。向量的大小，如果手写，则写成 |F|。印刷书籍中，向量的大小用斜体书写，例如F。

2. 向量加法——图解法

用图形方式添加向量有几种方法，包括首尾相连法和平行四边形法。

a. 向量尾对尾加法

已知向量 A 和 B。向量 A = 3 cm 与 x 轴重合（指向东）。向量 B = 2 cm 与 x 轴成 30 ^°角（指向东北）。使用首尾相连法，通过图解法将 A 和 B 相加。a) R = A + B b) R = A – B

合力矢量（R）的大小用直尺测量，合力矢量的方向用量角器测量。

已知向量 A、B 和 C。向量 A = 3 cm，与 x 轴重合（指向东）。向量 B = 2 cm，与 x 轴成 30 ^{°角（指向东北）。向量 C = 1 cm，与 x 轴成 60 °}角（指向东北）。使用首尾相连法，以图解方式将 A、B 和 C 相加。

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

用直尺测量合力矢量（R）。用量角器测量合力矢量的方向。

b. 平行四边形法

已知向量 A、B 和 C。向量 A = 3 厘米，与 x 轴重合（指向东）。向量 B = 2 厘米，与 x 轴成 30 ^{°角（指向东北）。向量 C = 1 厘米，与 x 轴成 60 °}角（指向东北）。使用平行四边形图形将 A、B 和 C 相加。

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

用直尺测量合力矢量（R）。用量角器测量合力矢量的方向。

3. 向量的加法——a分析 方法

用图解法确定合向量的大小和方向是一种方法。结果的准确性取决于你的绘画和比例尺读数的准确性。通过数学计算可以更精确地获得合向量的大小和方向。

a. 利用余弦定理计算两个向量之和

计算合力矢量大小的公式：

确定合力向量方向的公式：

C = 合向量

A = 向量 1

B = 向量 2

cos ∠(A, B) = 向量 A 和 B 所形成的夹角

例题1：

F1 ₌ 2 N 与 x 轴成 30° 角，F2 ₌ 3 N与 x 轴成 60 ^°角，θ = 30 ^°。

例题2：

F1 ₌ 2N 与 x 轴重合，F2 ₌ 3N与 x 轴成 90 ^°角，θ = 90 ^°。

b. 按分量相加向量

考虑如下图所示的向量 F，它与 x 轴成一定角度。F_{_x}和 F_{_y}是向量 F 的分量向量。

分量向量的大小可由以下公式确定：

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

回顾这两个向量 F₁ 和F₂ 如图所示，它与 x 轴形成一定的角度。_1x 和F_1y 是向量 F 的分量₁, 所以 F_2x 和F_2y 是向量 F 的分量₂.

分量向量可使用以下公式确定：

F_1x =F₁ cosθ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

将分量向量相加：

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

合向量可由以下公式确定：

合力向量的方向可由以下公式确定：

例题1：

求向量 F 的分量，已知其大小为 20 N，与 x 轴成 30 ^°角。

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

例题2：

F1 = 20 N与 x 轴成 30 ^°角， _F2 = 15 N 与 x 轴成 180° 角。求合力的大小和方向_。

F _1x = (20 N)(cos 30 ^° ) = 17 N

F2x = F1 ₌ –15 _N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

将分量向量相加：

F _{_x} = F _{_1x} – F _{_2x} = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

合向量：

F² ₌ Fx² + _Fy² = 2² ⁺ 10² ^{= 4} + 100 ₌ ¹⁰⁴

F = 10.2牛

合向量的方向：

θ = tan −15 =绕 x 轴78.7 ^°

例题3：

F₁，女_2, 和F₃ 分别是 20 北、30 北和 40 北。₁ 形成一个60度的角^o 关于 x 轴，F₂ 形成一个150度的角^o 关于 x 轴，以及 F₃ 形成一个315度的角^o 绕 x 轴旋转。确定合向量的大小和方向。

F _1x = (20 N)(cos 60 ^° ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N)(cos 30 ^° ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^° ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

添加分量向量：

F _{_x} = F _{_1x} – F _{_2x} + F _{_3x} = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

结果向量：

F² ⁼ Fx² + _Fy² = 12² ⁺ 4² ^{= 144} + 16 ₌ ¹⁶⁰

F = 13牛

合向量的方向：

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^°（绕 x 轴）