Vật liệu phương trình liên tục
Hãy thử mở vòi nước từ từ và quan sát dòng nước chảy ra. Khi vòi ngừng xoay, hãy dùng tay bịt một phần vòi lại. Bây giờ hãy so sánh xem dòng nước chảy ra mạnh hơn khi bị bịt một phần hay không bị bịt? Nếu bạn có một ống dẫn nước thường dùng để tưới hoa, hãy cho nước chảy qua đó. Dùng tay hoặc ngón tay bịt một phần ống lại. Ống càng bị bịt nhiều, nước sẽ chảy ra càng nhanh. Ngược lại, nếu ống không bị bịt, nước sẽ chảy chậm hơn. Tại sao lại như vậy? Để hiểu điều này, hãy nghiên cứu phương trình liên tục.
Đường dòng chảy và ống dẫn dòng chảy
Trước tiên, chúng ta hãy hiểu các khái niệm về đường dòng và ống dòng. Khái niệm này rất quan trọng vì nó sẽ giúp bạn hiểu phương trình liên tục.
Dòng chảy
Hãy nhìn vào hình ảnh bên dưới, đường màu xanh lam là đường dòng chảy (Streamline).
Trong dòng chảy ổn định, vận tốc của mỗi hạt chất lỏng tại một điểm, chẳng hạn điểm A, vẫn không đổi. Khi đi qua điểm B, vận tốc của các hạt chất lỏng có thể thay đổi. Tuy nhiên, khi đến điểm B, các hạt chất lỏng phía sau tiếp tục chảy với vận tốc không đổi so với các hạt chất lỏng đi trước. Điều tương tự cũng xảy ra khi đến điểm C, và cứ thế tiếp tục. Đường dòng là đường cong nối ba điểm A, B và C.
Ống dẫn dòng
Về cơ bản, ta có thể vẽ mỗi đường dòng đi qua mỗi điểm trong dòng chảy chất lỏng. Nếu xét dòng chảy chất lỏng ổn định, một số đường dòng đi qua một góc nhất định trên một diện tích bề mặt tưởng tượng (diện tích bề mặt tưởng tượng) sẽ tạo thành một ống dẫn dòng. Không có hạt chất lỏng nào giao nhau mà luôn song song, và ống dẫn dòng sẽ giống như một đường ống luôn có hình dạng không đổi. Chất lỏng đi vào một đầu của ống sẽ thoát ra ở đầu kia.
Ghi nợ
Lưu lượng biểu thị thể tích chất lỏng chảy qua một tiết diện nhất định trong một khoảng thời gian nhất định. Về mặt toán học, nó có thể được biểu thị như sau:
Để bạn dễ hiểu hơn, chúng ta hãy xem xét một ví dụ. Giả sử một chất lỏng chảy qua một đường ống. Đường ống thường có hình trụ và có diện tích mặt cắt ngang xác định. Đường ống cũng có chiều dài.
Khi chất lỏng chảy trong ống một đoạn dài L, thì thể tích chất lỏng trong ống là V = AL (V = thể tích chất lỏng, A = diện tích mặt cắt ngang và L = chiều dài ống). Vì trong quá trình chảy trong ống dọc theo chiều dài L, chất lỏng di chuyển một khoảng thời gian nhất định, nên ta có thể nói rằng lưu lượng chất lỏng là:
Vì v = s/t = L/t —> L = vt, phương trình trên được thay đổi thành:
Do đó, khi chất lỏng chảy qua một đường ống có diện tích mặt cắt ngang và chiều dài nhất định trong một khoảng thời gian nhất định, lưu lượng chất lỏng (Q) bằng diện tích mặt cắt ngang (A) nhân với vận tốc dòng chảy của chất lỏng (v).
Phương trình liên tục
Hãy xem xét dòng chảy chất lỏng trong một đường ống có đường kính khác nhau, như hình dưới đây.
Hình ảnh này thể hiện dòng chảy chất lỏng từ trái sang phải (chất lỏng chảy từ ống có đường kính lớn sang ống có đường kính nhỏ). Các đường chấm chấm là các đường dòng chảy.
Chú thích hình ảnh: A1 = diện tích mặt cắt ngang của đoạn ống đường kính lớn, A2 = diện tích mặt cắt ngang của đoạn ống đường kính nhỏ, v1 = vận tốc dòng chảy của chất lỏng trong đoạn ống đường kính lớn, v2 = vận tốc dòng chảy của chất lỏng trong đoạn ống đường kính nhỏ, L = quãng đường chất lỏng di chuyển.
Trong phần giới thiệu về động lực học chất lỏng, đã giải thích rằng trong động lực học chất lỏng, chúng ta thảo luận về dòng chảy của các chất lỏng không nén được, không nhớt, không nhiễu loạn và ổn định. Trong dòng chảy ổn định, vận tốc của các hạt chất lỏng tại một điểm bằng với vận tốc của các hạt chất lỏng khác đi qua điểm đó. Các dòng chảy chất lỏng cũng không giao nhau (các đường dòng song song). Do đó, khối lượng chất lỏng đi vào một đầu ống phải bằng khối lượng chất lỏng đi ra ở đầu kia. Nếu một chất lỏng có khối lượng nhất định đi vào một ống có đường kính lớn, thì chất lỏng đó sẽ đi ra khỏi ống có đường kính nhỏ với khối lượng không đổi.
Bây giờ, hãy nhìn vào hình ảnh của chiếc ống ở trên. Hãy nhìn vào phần ống có đường kính lớn và phần ống có đường kính nhỏ.
Trong một khoảng thời gian nhất định, một lượng chất lỏng nhất định chảy qua một đoạn ống có đường kính lớn (A).1) cho đến L1 (L1 = v1 t). Thể tích chất lỏng chảy là V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Trong cùng khoảng thời gian đó, một lượng chất lỏng khác chảy qua một đoạn ống có đường kính nhỏ hơn (A).2) cho đến L2 (L2 = v2 t). Thể tích chất lỏng chảy là V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Phương trình liên tục cho chất lỏng không nén được (không thể nén được)
Trước tiên, hãy xem xét trường hợp chất lỏng không nén được. Trong chất lỏng không nén được, mật độ, hay khối lượng, của chất lỏng luôn luôn giống nhau tại mọi điểm mà nó đi qua. Khối lượng chất lỏng chảy trong một ống có diện tích mặt cắt ngang A1 ( đường kính lớn của ống) trong một khoảng thời gian nhất định là:
Tương tự, khối lượng chất lỏng chảy trong một ống có tiết diện A2 ( đường kính ống nhỏ) trong một khoảng thời gian nhất định là:
Xét rằng trong dòng chảy ổn định, khối lượng chất lỏng đi vào bằng khối lượng chất lỏng đi ra, thì:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (mật độ chất lỏng và khoảng thời gian giống nhau nên chúng triệt tiêu nhau)
A 1 v 1 = A 2 v 2
Vì vậy, trong chất lỏng không nén được, phương trình liên tục vẫn áp dụng:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Phương trình 1
Thông tin :
A1 = diện tích mặt cắt ngang 1, A2 = diện tích mặt cắt ngang 2, v1 = vận tốc dòng chảy tại mặt cắt ngang 1, v2 = vận tốc dòng chảy tại mặt cắt ngang 2, Av = lưu lượng thể tích V/t hay còn gọi là lưu lượng xả
Phương trình 1 cho thấy lưu lượng thể tích, hay còn gọi là lưu lượng xả, luôn luôn giống nhau tại mọi điểm dọc theo đường ống hoặc ống dẫn. Khi tiết diện ngang của ống giảm, lưu lượng chất lỏng tăng; ngược lại, khi tiết diện ngang của ống tăng, lưu lượng chất lỏng giảm.
Khi ta mở hé vòi nước, dòng chảy sẽ nhanh hơn so với khi vòi nước được đóng hé. Điều này là do diện tích mặt cắt ngang của vòi giảm đi khi vòi được đóng hé, làm tăng tốc độ dòng chảy của nước (chất lỏng chảy nhanh hơn). Điều tương tự cũng đúng với ống mềm. Tuy nhiên, điều quan trọng cần lưu ý là lưu lượng xả hoặc lưu lượng thể tích vẫn không đổi tại mọi điểm dọc theo dòng chảy của nước, bất kể vòi nước được đóng hé hay không. Vì vậy, điều thay đổi chính là tốc độ dòng chảy của chất lỏng.
Vậy còn dòng chảy của nước trong sông thì sao? Những đoạn sông sâu hơn có tiết diện lớn hơn những đoạn sông nông hơn, vì vậy tốc độ dòng chảy ở những đoạn sâu thấp hơn so với những đoạn nông. Nếu bạn thấy dòng sông chảy rất êm đềm, điều đó có nghĩa là sông sâu. Nhưng nếu dòng sông đột nhiên chảy xiết, đoạn đó chắc chắn là nông. Tuy nhiên, tốc độ dòng chảy thể tích của nước luôn luôn như nhau, dù ở đoạn sông sâu hay êm đềm.
Phương trình liên tục cho chất lỏng nén được (có thể nén được)
Đối với chất lỏng nén được , mật độ của chất lỏng không phải lúc nào cũng giống nhau. Nói cách khác, mật độ của chất lỏng thay đổi khi bị nén. Trong khi đó, đối với chất lỏng không nén được , mật độ của chất lỏng được loại bỏ khỏi phương trình, nhưng trong trường hợp này, mật độ của chất lỏng vẫn được đưa vào. Dựa vào phương trình đã được thiết lập trước đó, chúng ta hãy thiết lập phương trình cho chất lỏng nén được.
Xét rằng trong dòng chảy ổn định, khối lượng chất lỏng đi vào bằng khối lượng chất lỏng đi ra, thì:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Khoảng thời gian dòng chảy của chất lỏng là như nhau nên có thể bỏ qua. Phương trình được thay đổi thành:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Phương trình 2
Đây là phương trình dành cho chất lỏng có thể nén được. Sự khác biệt duy nhất nằm ở mật độ của chất lỏng. Khi chất lỏng bị nén, mật độ của nó thay đổi. Ngược lại, khi chất lỏng không thể nén được, mật độ của nó vẫn không đổi và có thể được triệt tiêu.
Ví dụ câu hỏi 1:
Nước chảy qua một ống có đường kính 10 cm với vận tốc 2 m/s. Lưu lượng nước là bao nhiêu?
Cuộc thảo luận
Ai cũng biết rằng:
Đường kính ống = 10 cm (đây là đường kính trong của ống)
Bán kính của ống (r) = 5 cm = 0,05 m
vận tốc nước v = 2 m/s
Câu hỏi: Ghi nợ
Hàm:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Ví dụ câu hỏi 2:
Một ống dẫn nước có đường kính 20 cm được nối với một ống khác có đường kính 10 cm. Nếu lưu lượng nước trong ống có đường kính 20 cm là 4 m/s, thì lưu lượng nước trong ống có đường kính 10 cm là bao nhiêu?
Cuộc thảo luận
Ai cũng biết rằng:
Đường kính 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v 1 = 4 m/s
Đường kính 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
Câu hỏi: v 1
Hàm:
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v 2 = 16 m/s
