Nguyên lý và phương trình Bernoulli
Khi chúng ta lái xe máy khá nhanh, quần áo chúng ta mặc sẽ bị phồng lên ở phía sau. Nếu bạn chưa biết lái xe máy, hãy để ý bố mẹ hoặc bạn bè của bạn, những người thường xuyên lái xe máy. Phần lưng quần áo của họ thường bị phồng lên khi xe máy chạy nhanh. Đôi khi, khi gió thổi mạnh, cửa nhà có thể tự đóng lại. Mặc dù gió đang thổi bên ngoài nhà, trong khi cửa vẫn ở bên trong nhà.
Điều này có thể được giải thích bằng nguyên lý Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700–1782) đã phát hiện ra một nguyên lý có thể được sử dụng để giải thích một số điều nêu trên.
Nguyên lý Bernoulli
Nguyên lý Bernoulli phát biểu rằng, nơi vận tốc dòng chảy của chất lỏng cao, áp suất chất lỏng thấp. Ngược lại, nếu vận tốc dòng chảy của chất lỏng thấp, áp suất sẽ cao. Khi xe máy di chuyển nhanh, vận tốc gió phía trước và bên cạnh cơ thể bạn cao. Do đó, áp suất không khí trở nên thấp. Phần lưng của bạn bị phần trước cơ thể che khuất, vì vậy vận tốc gió phía sau cơ thể bạn không tăng cao (ngay phía sau cơ thể bạn). Kết quả là, áp suất không khí phía sau cơ thể bạn trở nên lớn hơn. Bởi vì có sự chênh lệch áp suất không khí, nơi áp suất không khí ngay phía sau cơ thể bạn lớn hơn, không khí đẩy áo bạn về phía sau, làm cho áo trông như bị phồng lên ở phía sau.
Vậy còn trường hợp cửa tự đóng khi gió mạnh bên ngoài thì sao? Không khí bên ngoài chuyển động nhanh hơn không khí bên trong. Kết quả là, áp suất không khí bên ngoài thấp hơn áp suất không khí bên trong. Do sự chênh lệch áp suất này, ở nơi có áp suất không khí bên trong cao hơn, cửa sẽ bị đẩy ra ngoài. Nói cách khác, cửa di chuyển từ nơi có áp suất không khí cao hơn đến nơi có áp suất không khí thấp hơn.
Phương trình Bernoulli
Trước đây, chúng ta đã tìm hiểu về nguyên lý Bernoulli. Bernoulli cũng đã phát triển nguyên lý này một cách định lượng. Để suy ra phương trình Bernoulli, chúng ta giả định dòng chảy chất lỏng ổn định, tầng, không nén được và độ nhớt thấp, điều này có thể bỏ qua.
Trong phần thảo luận về phương trình liên tục, chúng ta đã biết rằng lưu lượng chất lỏng cũng có thể thay đổi tùy thuộc vào diện tích mặt cắt ngang của ống dẫn. Dựa trên nguyên lý Bernoulli đã giải thích ở trên, áp suất chất lỏng cũng có thể thay đổi tùy thuộc vào lưu lượng chất lỏng. Áp suất chất lỏng cũng có thể thay đổi tùy thuộc vào chiều cao của chất lỏng. Mối quan hệ giữa áp suất, lưu lượng và chiều cao dòng chảy có thể được suy ra từ phương trình Bernoulli.
Phương trình Bernoulli rất quan trọng vì nó có thể được sử dụng để phân tích chuyển động bay của máy bay, nhà máy thủy điện, hệ thống đường ống, v.v. Để phương trình Bernoulli mà chúng ta sẽ chứng minh có thể áp dụng một cách tổng quát, chúng ta sẽ giả sử chất lỏng chảy qua một ống dẫn có tiết diện không bằng nhau và chiều cao khác nhau (xem hình dưới đây). Để chứng minh phương trình Bernoulli, chúng ta áp dụng định lý công và năng lượng cho chất lỏng trong vùng ống dẫn. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán lượng chất lỏng và công cần thiết để di chuyển chất lỏng.
Màu đục trong ống dẫn dòng chảy trong hình ảnh cho thấy có dòng chảy chất lỏng, trong khi màu trắng cho thấy không có chất lỏng.
Chất lỏng trong tiết diện 1 (bên trái) chảy một quãng đường L1 và đẩy chất lỏng trong tiết diện 2 (bên phải) di chuyển một quãng đường L2 . Vì tiết diện 2 ở bên phải nhỏ hơn, nên lưu lượng chất lỏng ở phía bên phải của ống dẫn lớn hơn (Hãy nhớ phương trình liên tục). Điều này gây ra sự chênh lệch áp suất giữa tiết diện 2 (bên phải của ống dẫn) và tiết diện 1 (bên trái của ống dẫn) - Hãy nhớ nguyên lý Bernoulli. Chất lỏng ở phía bên trái của tiết diện 1 tác dụng một áp suất P1 lên chất lỏng ở phía bên phải và thực hiện công:
Khi đó, phương trình W 1 có thể được viết như sau:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Tại mặt cắt ngang 2 (phía bên phải của ống dẫn), công thực hiện trên chất lỏng là:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Dấu âm cho biết lực tác dụng ngược chiều với hướng chuyển động. Vì vậy, chất lỏng thực hiện công về phía bên phải của tiết diện 2. Ngoài ra, lực hấp dẫn cũng thực hiện công lên chất lỏng. Trong trường hợp trên, một khối lượng chất lỏng nhất định được di chuyển từ tiết diện 1 đến vị trí L1 đến tiết diện 2 đến vị trí L2 , trong đó thể tích chất lỏng tại tiết diện 1 (A1L1 ) = thể tích chất lỏng tại tiết diện 2 (A2L2 ) . Công do trọng lực thực hiện là:
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Dấu âm là do chất lỏng chảy lên trên, ngược hướng với trọng lực. Do đó, tổng công thực hiện trên chất lỏng, như thể hiện trong hình trên, là:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Định lý công-năng lượng phát biểu rằng tổng công thực hiện trên một hệ bằng sự thay đổi động năng của hệ đó. Do đó, ta có thể thay thế Công (W) bằng sự thay đổi động năng (EK 2 ‐ EK 1 ).
Chúng ta có thể viết lại phương trình trên như sau:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Khối lượng chất lỏng chảy qua quãng đường L1 tại mặt cắt A1 = khối lượng chất lỏng chảy qua quãng đường L2 ( mặt cắt A2 ) . Một khối lượng chất lỏng, chẳng hạn như m, có thể tích là A1L1 và A2L2 , trong đó A1L1 = A2L2 ( L2 dài hơn L1 ).
Bây giờ chúng ta thay thế, hoặc thay thế m trong phương trình trên bằng m = ρ AL:
Đây là phương trình Bernoulli. Chúng ta đã suy ra phương trình Bernoulli dựa trên nguyên lý công-năng lượng, vì vậy nó là một dạng của Định luật Bảo toàn Năng lượng.
Thông tin :
P = Áp suất
ρ = Mật độ chất lỏng
v = Vận tốc dòng chảy của chất lỏng
g = Gia tốc trọng trường
h = Chiều cao của ống dẫn/đường ống so với mặt đất
Vế trái và vế phải của phương trình Bernoulli ở trên có thể biểu thị bất kỳ hai điểm nào dọc theo ống dẫn dòng chảy, vì vậy ta có thể viết lại phương trình trên như sau:
Phương trình này cho biết tổng các đại lượng trong phương trình có giá trị như nhau dọc theo toàn bộ ống dẫn.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét lại phương trình Bernoulli trong một số trường hợp.
Phương trình Bernoulli cho chất lỏng ở trạng thái tĩnh
Một trường hợp đặc biệt của phương trình Bernoulli là đối với chất lỏng ở trạng thái tĩnh. Khi chất lỏng ở trạng thái tĩnh, nó không có vận tốc. Do đó, v₁ = v₂ = 0. Trong trường hợp chất lỏng ở trạng thái tĩnh, phương trình Bernoulli có thể được biểu diễn như sau:
Nếu h 2 ‐ h 1 = h, thì phương trình này có thể được viết như sau:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Phương trình Bernoulli cho các ống dẫn dòng chảy có cùng chiều cao
Nếu chiều cao của ống dẫn dòng chảy là như nhau, thì phương trình Bernoulli sẽ được thay đổi thành:
