Bernulli formulasi: tamoyillari va qo'llanilishi
Bernulli printsipi suyuqlik mexanikasida fundamental tushuncha bo'lib, uni 18-asrda shveytsariyalik olim Daniel Bernulli kashf etgan. Bu printsip suyuqlik oqimining tezligi va shu oqim ichidagi bosim o'rtasidagi bog'liqlikni tushuntiradi. Ushbu maqolada Bernulli formulasi, uning asosiy tushunchalari, matematik hosilalari, hisoblash misollari va kundalik hayotdagi qo'llanilishi batafsil muhokama qilinadi.
Bernulli formulasini tushunish
Bernulli formulasida aytilishicha, ideal suyuqlik oqimida (ishqalanishsiz), birlik hajmga to'g'ri keladigan mexanik energiya miqdori (potentsial energiya, kinetik energiya va bosim) oqim davomida doimiy bo'ladi. Ushbu formula quyidagicha ifodalanadi:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant} \]
Qayerda:
– \( P \) suyuqlik bosimi (paskalda, Pa),
– \( \rho \) suyuqlikning zichligi (kubometr uchun kilogrammda, kg/m³),
– \( v \) suyuqlik oqimining tezligi (soniyasiga metrda, m/s),
– \( g \) tortishish kuchi tufayli tezlanish (soniyasiga metr kvadratda, m/s²),
– \( h \) suyuqlikning mos yozuvlar sathidan balandligi (metrda, m).
Bernulli printsipi
Bernulli printsipi energiyaning saqlanish qonuniga asoslangan. Suyuqlik oqimida, agar tizimga energiya qo'shilmasa yoki undan chiqarilmasa, tizimdagi umumiy energiya doimiy bo'lib qolishi kerak. Birlik hajmdagi umumiy energiya quyidagilardan iborat:
1. Bosim energiyasi (\( P \)): suyuqlik bosimi tufayli hosil bo'lgan energiya.
2. Kinetik energiya (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): suyuqlik harakati natijasida hosil bo'lgan energiya.
3. Gravitatsion potensial energiya (\( \rho gh \)): Suyuqlikning tortishish maydonidagi holatidan kelib chiqadigan energiya.
Bernulli formulasining matematik hosilasi
Bernulli formulasining hosilasini tushunish uchun biz 1-nuqtadan 2-nuqtaga tezlikda (v) oqimda harakatlanayotgan suyuqlikning kichik elementini ko'rib chiqamiz. Agar ishqalanish yoki issiqlik tufayli energiya yo'qotilmasligini taxmin qilsak, 1 va 2-nuqtalardagi umumiy energiya bir xil bo'lishi kerak.
1-nuqtadagi (\( E_1 \)) umumiy energiya quyidagicha:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
2-nuqtadagi (\( E_2 \)) umumiy energiya quyidagicha:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Umumiy energiya doimiy bo'lishi kerakligi sababli:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Bu Bernulli formulasi deb ataladi.
Bernulli formulasidan foydalanib hisoblash misoli
Aytaylik, bizda A nuqtadan B nuqtaga suv oqayotgan gorizontal quvur bor. A nuqtada suv tezligi 2 m/s va bosim 150 000 Pa ni tashkil qiladi. B nuqtada suv tezligi 4 m/s ni tashkil qiladi. Suv zichligi 1000 kg/m³ ni tashkil qiladi. B nuqtadagi bosimni hisoblang.
Bernulli formulasidan foydalaning:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Quvur gorizontal holatda bo'lgani uchun, \( h_A = h_B \), shuning uchun ikkala nuqtada ham \( \rho gh \) ni e'tiborsiz qoldirish mumkin:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Ma'lum qiymatlarni almashtiring:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Ikkala nuqtada ham kinetik energiyani hisoblang:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Demak, B nuqtadagi bosim 144 000 Pa ni tashkil qiladi.
Bernulli printsipining qo'llanilishi
1. Samolyotlar: Bernulli printsipi samolyot qanotlarini loyihalashda qo'llaniladi. Samolyot qanotining shakli qanot ustidagi havo tezligi qanot ostidagidan kattaroq bo'lishi uchun mo'ljallangan. Bu qanot ustidagi bosimning pasayishiga va qanot ostidagi bosimning yuqori bo'lishiga olib keladi, bu esa samolyotning uchishiga imkon beruvchi ko'tarilish kuchini yaratadi.
2. Poyga transport vositalari: Poyga transport vositalarining aerodinamik dizayni tezlik va barqarorlikni oshirish uchun Bernulli printsipidan foydalanadi. Spoilerlar va diffuzerlar havo oqimini tartibga solish, pastga tushish kuchini oshirish uchun ishlatiladi, bu esa transport vositasining yo'lda tortishish kuchini yaxshilaydi.
3. Tanadagi qon oqimi: Bernulli printsipi qon tomirlari orqali qon oqimiga ham tegishli. Tibbiy holatlarni tashxislash uchun tananing turli qismlarida qon oqimi tezligi va bosimidagi farqlarni o'rganish mumkin.
4. Venturi o'lchagichi: Quvurdagi suyuqlik oqimi tezligini o'lchash uchun ishlatiladigan qurilma. Venturi o'lchagichi torayuvchi kesimga ega, bu esa Bernulli printsipiga muvofiq suyuqlik oqimi tezligining oshishiga va bosimning pasayishiga olib keladi. Keng va tor kesimlar orasidagi bosim farqi oqim tezligini hisoblash uchun ishlatiladi.
5. Atir purkagichlar: Atir purkagichlar yoki suyuq purkagichlar Bernulli printsipidan foydalanadi. Havo tor naycha orqali puflanganda, naychaning uchi atrofidagi havo bosimi pasayadi, bu esa atir suyuqligini naycha orqali yuqoriga tortadi va uni mayda tuman sifatida purkaydi.
Bernulli printsipining qo'llanilishiga ta'sir qiluvchi omillar
1. Ishqalanish: Aslida, suyuqliklar ideal emas va har doim energiya yo'qotilishiga olib keladigan ichki ishqalanish (qovushqoqlik) mavjud. Bu Bernulli printsipini qo'llashni murakkablashtiradi.
2. Suyuqlikning siqilishi: Bernulli printsipini siqilmaydigan suyuqliklarga (masalan, suvga) qo'llash osonroq. Gazlar yoki siqilmaydigan suyuqliklar uchun tenglamani sozlash kerak.
3. Turbulentlik: Bernulli printsipi laminar (muntazam) oqimga nisbatan qo'llaniladi. Turbulent (nomuntazam) oqimda tahlil murakkablashadi.
Amaliy tadqiqot: Bernulli printsipidan samolyot qanotlarini loyihalashda foydalanish
Samolyot qanotining dizayni Bernulli printsipining amaldagi klassik namunasidir. Qanotning egri yuqori va yassi pastki shakli havoning qanot ustidan ostidan ko'ra tezroq oqishini ta'minlaydi. Bernulli printsipiga ko'ra, qanot ustidagi yuqori havo oqimi tezligi qanot ostidan ko'ra pastroq bosim hosil qiladi. Bu bosim farqi samolyotning uchishiga imkon beradigan ko'tarish kuchini yaratadi.
Aytaylik, samolyotning qanot maydoni 25 m². Qanot ustidagi havo tezligi 70 m/s, qanot ostidagi havo tezligi esa 50 m/s. Havo zichligi 1.225 kg/m³. Olingan ko'tarish kuchini hisoblang.
1. Bernulli formulasidan foydalanib, bosim farqini (\( \Delta P \)) hisoblang:
\[ P_{bottom} – P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 – v_{bottom}^2) \]
Ma'lum qiymatlarni almashtiring:
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \marta 1.225 \marta 2400 \]
\[ \Delta P = 1.225 \1200 marta \]
\[ \Delta P = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Ko'tarish kuchini hisoblang (\( F_{lift} \)):
\[ F_{lift} = \Delta P \marta A \]
\[ F_{lift} = 1470 \, \text{Pa} \marta 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{lift} = 36,750 \, \text{
N} \]
Shunday qilib, natijada ko'tarish kuchi 36 750 nyutonni tashkil qiladi.
Xulosa
Bernulli prinsipi suyuqlik mexanikasining asoslaridan biri bo'lib, suyuqlik oqimi tezligi va bosim o'rtasidagi bog'liqlikni tushuntiradi. Bernulli formulasini tushunish va qo'llash orqali biz samolyotlardan tortib oqim o'lchagichlarigacha bo'lgan suyuqlik oqimi bilan bog'liq turli xil tizimlarni tahlil qilishimiz va loyihalashimiz mumkin. Amalda biz ko'pincha ishqalanish va turbulentlik kabi omillarni hisobga olishimiz kerak bo'lsa-da, Bernulli prinsipi suyuqlik dinamikasini tushunish va samarali muhandislik yechimlarini loyihalashda muhim vosita bo'lib qolmoqda.
