Koordinatalar tizimidagi ikki o'lchovli vektorlarni muhokama qilish bo'yicha namunaviy savollar
Vektor - bu ham kattalik, ham yo'nalishga ega bo'lgan miqdor. Vektorlar turli xil matematika va fizika fanlarida turli hodisalarni ifodalash uchun tez-tez ishlatiladi. Ushbu maqolada biz koordinatalar tizimidagi ikki o'lchovli vektorlarga misollarni ko'rib chiqamiz.
Koordinata tizimlarida vektorlarning asosiy tushunchalari
Ikki o'lchovli koordinatalar tizimidagi vektorni \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) shaklida ifodalash mumkin, bu yerda \(a_1\) vektorning x-komponenti va \(a_2\) vektorning y-komponenti. Vektorni ikkita komponentga, ya'ni x-komponent va y-komponentga ajratish mumkin.
Vektorli qoʻshish va ayirish
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) va \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) ikkita vektorni qo'shish quyidagicha:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Kamaytirish esa:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Skalyar ko'paytirish
Agar \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) va \(k\) skalyar bo'lsa, u holda \(k\vec{A}\) quyidagicha bo'ladi:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Vektor kattaligi
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) vektorining kattaligi yoki uzunligi:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Birlik vektori
Birlik vektori - bu uzunligi bir birlikka teng bo'lgan vektor. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ning birlik vektori quyidagicha:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \chap( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Namunaviy savollar va muhokama
1-savol: Vektorlarni qo'shish va ayirish
Ikkita vektor quyidagicha berilgan: \(\vec{A} = (3, 4)\) va \(\vec{B} = (1, 2)\). \(\vec{A} + \vec{B}\) va \(\vec{A} – \vec{B}\) ning ko'paytmasini toping.
Munozara:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
2-savol: Skalyar ko'paytirish
\(\vec{C} = (2, -3)\) vektori berilgan holda, \(3\vec{C}\) va \(-2\vec{C}\) ni hisoblang.
Munozara:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
3-savol: Vektor kattaligi
\(\vec{D} = (5, 12)\) vektorining kattaligini hisoblang.
Munozara:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
4-savol: Birlik vektorlari
\(\vec{E} = (4, 3)\) vektorining birlik vektorini toping.
Munozara:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
$ \hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \chap( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right) $$
\]
5-savol: Vektorlarning holati va masofasi
Ikki oʻlchovli koordinata tekisligidagi ikkita nuqta P(2, 3) va Q(5, 7). P nuqtadan Q nuqtagacha boʻlgan joylashuv vektorini va ular orasidagi masofani aniqlang.
Munozara:
P dan Q gacha bo'lgan pozitsiya vektori:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
P va Q nuqtalari orasidagi masofa:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
6-savol: Nuqtali mahsulot natijasi
Agar \(\vec{F} = (-3, 4)\) va \(\vec{G} = (2, 1)\) bo'lsa, \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) ning nuqta ko'paytmasini hisoblang.
Munozara:
Ikki vektorning nuqtali ko'paytmasi quyidagicha:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
7-savol: Ikki vektor orasidagi burchak
Agar \(\vec{H} = (7, -4)\) va \(\vec{I} = (3, 0)\) bo'lsa, ikkita vektor orasidagi burchakni aniqlang.
Munozara:
Ikki vektor orasidagi burchakni aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
\[
$ \cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|} $$
\]
Avvalo, nuqta ko'paytmasini hisoblang \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Keyin, \(\vec{H}\) va \(\vec{I}\) ning kattaliklarini hisoblang:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Ushbu qiymatlarni formulaga kiriting:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Demak, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
8-savol: Vektorli proyeksiya
\(\vec{J} = (2, 1)\) va \(\vec{K} = (-1, 3)\) vektorlari uchun \(\vec{J}\) ning \(\vec{K}\) ga proyeksiyasini hisoblang.
Munozara:
\(\vec{J}\) ning \(\vec{K}\) ga proyeksiyasi quyidagicha:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \o'ng) \vec{K}
\]
Avvalo, nuqta ko'paytmasini hisoblang \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Keyin, \(\vec{K}\) ning kattaligi:
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Formulaga kiriting:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \chap( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \chap( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \chap( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Bular koordinata tizimidagi ikki o'lchovli vektorlar bilan bog'liq muammolar va muhokamalarga misollardir. Vektorlarni yaxshi tushunish matematika, fizika va muhandislikdagi ko'plab qo'llanmalarda foydali bo'lishi mumkin. Turli misollar bilan mashq qilish ushbu tushunchani chuqurroq tushunishingizga yordam beradi va uni turli vaziyatlarda samarali qo'llash imkonini beradi.
