Namunaviy savollar va muhokama: Yagona ma'lumotlarning dispersiyasi va standart og'ishi
Statistika - bu ma'lumotlarni to'plash, tahlil qilish, talqin qilish, taqdim etish va tashkil etish bilan bog'liq matematika sohasi. Statistikada ikkita muhim tushuncha dispersiya va standart og'ishdir. Ushbu maqolada bir nechta misol masalalari orqali bitta ma'lumotlar to'plamining dispersiyasi va standart og'ishini qanday hisoblash batafsil muhokama qilinadi.
Dispersiya va standart og'ishni tushunish
Dispersiya - bu ma'lumotlar to'plamidagi raqamlarning o'rtacha yoki o'rtacha qiymatdan qanchalik uzoqda joylashganligini aniqlaydigan o'lchovdir. Dispersiya asl ma'lumotlarning kvadrat birliklarida ifodalanadi, bu esa uni talqin qilishni ko'pincha qiyinlashtiradi.
Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizidir. Bu ma'lumotlarning o'rtacha qiymatdan qanchalik uzoqqa ketishini aniqroq o'lchash imkonini beradi, chunki uning birliklari ma'lumotlarning asl birliklari bilan bir xil.
Umumiy formula
Yagona ma'lumotlar uchun populyatsiyaning dispersiyasi \( \sigma^2 \) va standart og'ish \( \sigma \) formulasi quyidagicha:
1. Dispersiya (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standart og'ish (σ):
\( \sigma = \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Qayerda:
– \( N \) - populyatsiyadagi ma'lumotlar soni.
– \( x_i \) i-chi ma'lumot qiymati.
– \( \mu \) ma'lumotlarning o'rtacha yoki o'rtacha qiymati.
Agar namunaning dispersiyasi va standart og'ishini hisoblasak, yuqoridagi formula biroz o'zgartirilgan bo'ladi:
1. Namuna o'zgarishi (s²):
$( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \) $
2. Namuna standart og'ish(lar)i:
\( s = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Qayerda:
– \( n \) namunadagi ma'lumotlar soni.
– \( \bar{x} \) namunaning o'rtacha qiymati yoki o'rtacha qiymati.
Namunaviy savollar va muhokama
1-savolga misol:
Quyidagi ma'lumotlarni hisobga olgan holda:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Ma'lumotlarning dispersiyasi va standart og'ishini hisoblang!
Yechim bosqichlari:
1. O'rtacha qiymatni (o'rtacha) hisoblash \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Ma'lumotlar va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farqni, keyin esa kvadratni hisoblang:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Barcha kvadratik natijalarni qo'shish:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Populyatsiya ma'lumotlarining dispersiyasini (σ²) hisoblash:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Izoh: Ushbu ma'lumotlar aholi soni ma'lumotlari sifatida ko'rsatilganligi sababli, biz 6 ga bo'lamiz.
5. Standart og'ishni (σ) hisoblash:
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \taxminan 1.886
\]
Demak, ma'lumotlarning dispersiyasi 3.559 ga, standart og'ish esa 1.886 ga teng.
2-savolga misol:
Quyidagi namunaviy ma'lumotlar berilgan:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Namunaning dispersiyasi va standart og'ishini hisoblang!
Yechim bosqichlari:
1. O'rtacha (o'rtacha) \( \bar{x} \) ni hisoblash:
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Ma'lumotlar va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farqni, keyin esa kvadratni hisoblang:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Barcha kvadratik natijalarni qo'shish:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Namuna dispersiyasini (s²) hisoblash:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Izoh: Bu namunaviy ma'lumotlar bo'lgani uchun, biz 5 ga (n-1) bo'lamiz.
5. Standart og'ish(lar)ni hisoblash:
\[
s = \sqrt{5.351} \taxminan 2.313
\]
Demak, namunaviy ma'lumotlarning dispersiyasi 5.351 ga, standart og'ish esa 2.313 ga teng.
Xulosa
Dispersiya va standart og'ishni hisoblash ma'lumotlarning berilgan to'plam ichida qanday tarqalishini tushunish uchun juda muhimdir. Dispersiya asl birliklarning kvadratlarida dispersiyaning nazariy o'lchovini taqdim etsa-da, standart og'ish dispersiya o'lchovini ma'lumotlarning asl birliklari nuqtai nazaridan talqin qiladi va bu uni tushunishni osonlashtiradi. Ma'lumotlarni tahlil qilishda bu ikki o'lchov ko'pincha ma'lumotlar o'zgaruvchanligini baholash va statistik qarorlar qabul qilish uchun ishlatiladi.
Kerakli bosqichlar va formulalarni tushunish orqali biz kundalik ma'lumotlarni to'plash va tahlil qilishda duch keladigan turli vaziyatlar uchun dispersiya va standart og'ishni osongina hisoblashimiz mumkin. Umid qilamizki, ushbu maqola alohida ma'lumotlar to'plamlarida dispersiya va standart og'ish tushunchalarini chuqurroq tushunish imkonini beradi.
