Trigonometriyaga oid misol savollar va muhokama
Trigonometriya - bu uchburchaklardagi burchaklar va yon uzunliklar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rganadigan matematikaning bir sohasi. Trigonometriyaning asosiy tushunchalarini tushunish fizika va muhandislikdan astronomiya va geografiyagacha bo'lgan turli xil qo'llanmalarda juda muhimdir. Ushbu maqolada biz tushunishga yordam berish uchun bir nechta misol masalalarni va to'liq tushuntirishlarni tushuntiramiz.
1-misol savol: Sinus usuli yordamida uchburchakning tomonlarini hisoblash
Savol:
Burchagi A = 30°, burchagi B = 45° va tomoni b = 10 sm bo'lgan ABC uchburchagi berilgan. a tomonining uzunligini hisoblang.
Munozara:
Sinuslar qonunidan foydalaning:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Ma'lum qiymatlarni kiriting:
\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Biz buni bilamiz:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Endi ushbu qiymatlarni tenglamaga almashtiring:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Tenglamani soddalashtiring:
\[ 2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Maxrajni ratsionalizatsiya qiling:
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ 2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]
Demak, a tomonining uzunligi \(5\sqrt{2} \) sm ga teng.
2-misol savol: Kosinus usuli yordamida burchaklarni hisoblash
Savol:
Uchburchakning tomonlari a = 7 sm, b = 10 sm va c = 5 sm ga teng. C burchakning kattaligini aniqlang.
Munozara:
Kosinuslar teoremasidan foydalaning:
$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \] $$
Ma'lum qiymatlarni kiriting:
\[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \]
Tenglamani soddalashtiring:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[25 = 149 – 140 \cos C \]
149-sonni chap tomonga siljiting:
\[ 25 – 149 = -140 \cos C \]
\[ -124 = -140 \cos C \]
$ \ cos C = \frac{124}{140} $ ga teng.
$ \ cos C = \frac{62}{70} $ ga teng.
$ \ cos C = \frac{31}{35} $ ga teng.
Kalkulyatordan foydalanib, \( \cos^{-1} \) (teskari kosinus) ni toping:
\[ C \approx \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C \taxminan 25.84° \]
Demak, C burchakning kattaligi taxminan 25.84° ga teng.
3-misol savol: Uchburchakning balandligi va maydonini hisoblash
Savol:
Uchburchakning ikki tomoni uzunligi a = 6 sm va b = 8 sm, ular orasidagi burchak esa 60° ga teng. Uchburchakning balandligi va yuzini hisoblang.
Munozara:
1. Uchburchakning maydonini hisoblash:
Uchburchak maydoni uchun formuladan foydalaning:
\[ \text{Maydon} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Ma'lum qiymatlarni kiriting:
\[ \matn{Maydon} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
Biz buni bilamiz:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Shunday qilib:
\[ \matn{Maydon} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \matn{Maydon} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Maydon} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \matn{Maydoni} = 12\kvadrat{3} \]
Demak, uchburchakning maydoni \(12\sqrt{3} \) sm² ga teng.
2. a asosdan uchburchakning balandligini hisoblash:
Uchburchakning balandligini hisoblash uchun balandlikni h deb belgilang va maydon formulasidan foydalaning:
\[ \matn{Maydon} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\kvadrat{3} = 3 soat \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]
Demak, uchburchakning balandligi \(4\sqrt{3} \) sm ga teng.
4-savolga misol: To'g'ri uchburchakning tomonlarini aniqlash
Savol:
To'g'ri burchakli uchburchakda, burchak 30° va burchakning parallel tomoni 5 sm bo'lganda, gipotenuzaning uzunligini aniqlang.
Munozara:
To'g'ri burchakli uchburchakda 30° burchak uchun trigonometrik nisbatlardan foydalaning:
\[ \sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{gipotenuza}} \]
\[ \sin 30° = \frac{old{gipotenuza} = \frac{5}{\text{gipotenuza}} \]
Biz buni bilamiz:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Shunday qilib:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{gipotenuza}} \]
\[ \text{gipotenuza} = 10 \]
Demak, gipotenuzaning uzunligi 10 sm ga teng.
5-savolga misol: Trigonometrik funksiyalar yordamida burchaklarni hisoblash
Savol:
Agar \( \tan \theta = \frac{3}{4} \) bo'lsa, \(\theta\) burchakning o'lchamini hisoblang.
Munozara:
Teskari tangens formulasidan foydalanib:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
Kalkulyator yordamida:
\[ \theta \taxminan 36.87° \]
Demak, \(\teta\) burchakning kattaligi taxminan 36.87° ga teng.
Xulosa
Trigonometriya turli sohalarda keng qo'llaniladigan keng matematik tushunchadir. Sinuslar, kosinuslar va boshqa asosiy funksiyalar qonunlaridan qanday foydalanishni tushunish bizga uchburchaklar va burchaklar bilan bog'liq turli xil masalalarni yechish imkonini beradi. Yuqoridagi misollar orqali o'quvchilar chuqurroq tushunchaga ega bo'lishlari va uni trigonometriyani tushunishni talab qiladigan turli vaziyatlarda qo'llay olishlariga umid qilamiz.
