Eng kichik kvadratlar usuli bo'yicha muhokama savollariga misol
Eng kichik kvadratlar usuli (LEM) - bu ma'lumotlarni eng samarali bashorat qiladigan eng yaxshi moslik chizig'ini topish uchun ishlatiladigan statistik usul. Ushbu usul ko'pincha chiziqli regressiya tahlilida mustaqil va bog'liq o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatni aniqlash uchun ishlatiladi. Ushbu maqolada eng kichik kvadratlar usulining asosiy tushunchalari, shuningdek, ushbu usul qanday ishlashini chuqurroq tushunish uchun muammolarga misollar va bosqichma-bosqich tushuntirishlar ko'rib chiqiladi.
Eng kichik kvadratlar usulining asosiy tushunchalari
Eng kichik kvadratlar usulining maqsadi kuzatilgan qiymatlar va regressiya modeli tomonidan bashorat qilingan qiymatlar orasidagi farqlarning kvadratlari yig'indisini minimallashtirishdir. Oddiy chiziqli regressiya chizig'ining tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:
y = a + bx
Qayerda:
– \( y \) bog'liq o'zgaruvchi,
– \( x \) mustaqil o'zgaruvchi,
– \( a \) kesishish nuqtasi (\( x = 0 \) bo'lganda \( y \) ning qiymati),
– \( b \) chiziqning qiyaligi (qiyalik yoki regressiya koeffitsienti).
Eng kichik kvadratlar usuli quyidagi funksiyani minimallashtiradigan \( a \) va \( b \) parametrlarini baholaydi:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
bu yerda SSE kvadratik xatolar yig'indisi bo'lsa, \(y_i \) haqiqiy qiymat va \(\hat{y_i} = a + bx_i \) bashorat qilingan qiymatdir.
Eng kichik kvadratlar usuli bosqichlari
Kontseptsiyani aniqlashtirish uchun biz eng kichik kvadratlar usulidan foydalanish bilan bog'liq misol masalasini yechamiz.
Muammolar namunasi
Quyidagi ma'lumotlarni hisobga olgan holda:
| x (O'quv soatlari) | y (Imtihon ballari) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Ma'lumotlarga eng mos keladigan chiziqli regressiya chizig'ini aniqlang.
Munozara
1. \( \bar{x} \) va \( \bar{y} \) ning o'rtacha qiymatini hisoblash
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Parametrni hisoblash \(b \) (qiyalik)
\(b \) parametri quyidagicha hisoblanadi:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
Har bir komponentni hisoblash:
\[
\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. Parametrni hisoblash \( a \) (kesishish nuqtasi)
\( \bar{x} \) va \( \bar{y} \ ning o'rtacha qiymatidan foydalanib:
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Regressiya chizig'i tenglamasini yozish
Topilgan parametrlar bilan regressiya chizig'ining tenglamasini yozishimiz mumkin:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Talqin va tekshirish
Ushbu regressiya chizig'i mos kelishini ta'minlash uchun biz boshlang'ich ma'lumotlardagi har bir x uchun bashorat qilingan y-qiymatini (\(\hat{y}\)) hisoblashimiz, shuningdek, bashoratning aniqligini tasdiqlash uchun Kvadrat Xatolar Yig'indisini (SSE) hisoblashimiz mumkin.
| x | y | \(\shapka{y}\) | \((y – \shapka{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Nisbatan kichik SSE bilan, eng kichik kvadratlar usuli bilan hosil qilingan regressiya chizig'i ushbu ma'lumotlar uchun yaxshi mos keladi degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Xulosa
Eng kichik kvadratlar usuli ma'lumotlar to'plami uchun eng mos keladigan chiziqni aniqlash, og'ishlar kvadratiga asoslangan bashorat xatosini minimallashtirish uchun kuchli statistik tahlil vositasidir. O'rtacha qiymatni hisoblash, qiyalik va kesishishni baholash, shuningdek, regressiya chizig'i tenglamasini yozish va tekshirish bosqichlaridan foydalanib, biz mustaqil o'zgaruvchilardan bog'liq o'zgaruvchining qiymatini aniq bashorat qilishimiz mumkin.
Ushbu usulni yaxshi tushunish iqtisodiyot, biostatistika, muhandislik va ijtimoiy fanlar kabi sohalarda juda foydali bo'lib, bu sohalarda regressiya tahlili tez-tez qo'llaniladi. Ushbu maqola aniq misollar bilan ushbu metodologiyaning ma'lumotlarni tahlil qilishdagi ahamiyati va foydaliligini ko'rsatadi.
