Doira va Akkordlar bo'yicha namunaviy savollar va muhokama
Doira matematikada ko'pincha o'rganiladigan asosiy geometrik shakllardan biridir. Doiralarga oid muhim tushunchalardan biri bu xord bo'lib, u markazdan o'tmasdan aylananing ikkita nuqtasini bog'laydigan chiziqdir. Doiralar va xordlarni tushunish geometriyani o'rganish uchun juda muhimdir. Ushbu maqolada aylanalar va xordlarga oid bir nechta misol masalalar va muhokamalar muhokama qilinadi, bu esa ushbu tushunchalarni chuqurroq tushunishimizga yordam beradi.
Asosiy tushuncha
Doira
Doira - bu tekislikdagi markaz deb ataladigan berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan barcha nuqtalar to'plami. Agar aylananing markazi O nuqta va aylananing radiusi r bo'lsa, u holda aylana Dekart shaklida (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² tenglama bilan ifodalanishi mumkin.
Kamon ipi
Doira ichidagi akkord - bu aylananing ikki nuqtasini bog'laydigan chiziq. Akkordning uzunligi nafaqat aylananing radiusiga, balki unga qaragan markaziy burchakning kattaligiga ham bog'liq.
Namunaviy savollar va muhokama
1-savol:
Savol: Radiusi 10 sm bo'lgan aylana va uzunligi 16 sm bo'lgan AB xordasi berilgan. Aylana markazidan xordagacha bo'lgan eng qisqa masofani aniqlang.
Munozara:
Doira markazidan xordaga masofani topish uchun radius, markazdan xordaga masofa va xordaga uzunligining yarmi o'rtasida hosil bo'lgan to'g'ri uchburchak formulasidan foydalanishimiz mumkin.
Aytaylik, O nuqta aylananing markazi va P nuqta AB xordasining o'rtasidagi AB ga perpendikulyar nuqta. Shunday qilib, OP O doirasining markazidan AB xordasigacha bo'lgan masofa.
OAP uchburchagida (P nuqtasidagi to'g'ri burchakli uchburchak) biz Pifagor teoremasini qo'llashimiz mumkin:
OP² + AP² = OA²
Biz buni bilamiz:
– OA (doira radiusi) = 10 sm
– AB (kamon ipining uzunligi) = 16 sm, shuning uchun AP = 16/2 = 8 sm.
Ma'lum qiymatlarni tenglamaga almashtiring:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Demak, aylana markazidan akkordgacha bo'lgan eng qisqa masofa 6 sm.
2-savol:
Savol: Markazi O bo'lgan aylananing radiusi 8 sm. AB xordasi 120° ga teng ∠AOB markaziy burchak hosil qiladi. AB xordasining uzunligini aniqlang.
Munozara:
Markaziy burchakni (θ) tashkil etuvchi akkord uzunligini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanishimiz mumkin:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Qayerda:
– r aylananing radiusi (bu savolda 8 sm)
– θ aylana markazida xordning hosil qilgan burchagi (bu masalada 120°)
Ma'lum qiymatlarni almashtiring:
AB = 2 × 8 sm × sin(120°/2)
AB = 16 sm × sin(60°)
AB = 16 sm × (√3 / 2)
AB = 8√3 sm
Demak, AB akkordining uzunligi 8√3 sm ga teng.
3-savol:
Savol: Radiusi 13 sm bo'lgan aylana va AB xordasi aylana markazidan 5 sm masofada joylashgan. AB xordasining uzunligini aniqlang.
Munozara:
Bu holda, biz hosil bo'lgan to'g'ri uchburchakdan foydalanib, xordning uzunligini topishimiz mumkin. O nuqta aylananing markazi, P nuqta markazga eng yaqin xordada joylashgan nuqta va AB xord bo'lsin.
Biz bilamiz:
– OA (doira radiusi) = 13 sm
– OP (kamon ipining markazidan tortib to ipgacha bo'lgan masofa) = 5 sm.
OAP uchburchagida:
OP² + AP² = OA²
Biz AP (akkord uzunligining yarmi) ni topamiz:
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Demak, AB akkordining uzunligi = 2 × AP = 2 × 12 = 24 sm.
4-savol:
Savol: Radiusi 10 sm bo'lgan aylana berilgan. AB xordasi uzunligi 12 sm. Markaziy burchakning kattaligini ∠AOB aniqlang.
Munozara:
Bu holda, markaziy burchak ∠AOB ni aniqlash uchun trigonometrik funksiyaning teskari qiymatidan foydalanishimiz kerak. θ markaziy burchagini o'z ichiga olgan akkord uzunligi formulasiga asoslanib, θ ni hisoblash uchun formulani qayta yozishimiz mumkin:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Qayerda:
– r aylananing radiusi (10 sm)
– AB – kamon ipining uzunligi (12 sm)
sin(θ/2) ni ajratib olish uchun tenglama tuzing:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
θ/2 ning qiymatini toping:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Shunday qilib,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Demak, markaziy burchak ∠AOB 73.74° ga teng.
Xulosa
Doira va akkordlarni o'rganish asosiy geometriya va trigonometriyani tushunishni talab qiladi. Yuqoridagi misollarda biz Pifagor teoremasi, trigonometrik funksiyalar va doiralarning asosiy xossalari kabi turli formulalar va teoremalardan masalalarni yechishda qanday foydalanishni ko'rib chiqdik.
Ushbu amaliy masalalar orqali radius, akkord uzunligi va natijada hosil bo'lgan markaziy burchak o'rtasidagi bog'liqlikni chuqurroq tushunishga erishish mumkinligiga umid qilinadi. Ushbu tushunchani tushunish nafaqat maktab matematikasida, balki fan va muhandislikning turli sohalaridagi kundalik qo'llanmalarda ham foydalidir.
