Doiralar va Tangenslar haqida namunaviy savollar va muhokama
Doiralar va tangenslar matematikada, ayniqsa o'rta maktab darajasida tez-tez muhokama qilinadigan ikkita mavzudir. Tangenslar tushunchasini va ularni doiralarga qo'llashni tushunish geometriya haqidagi bilimlaringizni chuqurlashtirish uchun juda muhimdir. Ushbu maqolada o'quvchilarga chuqurroq tushuncha berish uchun doiralar va tangenslar bo'yicha misollar va muhokamalar keltirilgan.
Doiralar va Tangenslar nazariyasiga kirish
Doira
Doira - bu tekislikdagi aylananing markazi deb ataladigan qo'zg'almas nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to'plami. Bu qo'zg'almas masofa aylananing radiusi deb nomlanadi. Matematik jihatdan aylana quyidagi tenglama bilan aniqlanishi mumkin:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
bu yerda \((a, b)\) aylana markazining koordinatalari va \(r\) radiusdir.
Tangens
Aylanaga tangens - bu aylanaga aniq bir nuqtada tegib turgan chiziq. Bu nuqta tangens nuqtasi deb ataladi. Tangensning asosiy xususiyati shundaki, u aylana markazidan tangens nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.
Namunaviy savollar va muhokama
1-savol: Tangens chiziq tenglamasini aniqlash
Savol:
Markazi �((2, 3)⁻ nuqtada va radiusi 5 bo'lgan aylana berilgan. �((5, 7)⁻ koordinatalariga ega �(P⁻ nuqtadagi aylanaga ulangan chiziqning tenglamasini toping.
Munozara:
1-qadam: \(P\) nuqtasi aslida aylana ustida ekanligiga ishonch hosil qiling.
ning markazi ...
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[9 + 16 = 25 \]
Tenglik to'g'ri bo'lgani uchun, \(P \) nuqta aylanada yotadi.
2-qadam: \( (2, 3) \) va \( (5, 7) \) orqali o'tuvchi radiusning gradientini aniqlang:
\[ m_{radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
3-qadam: Radius gradiyentiga perpendikulyar bo'lgan tangens chizig'ining gradiyenti (ko'paytma gradiyenti -1 ga teng):
\[ m_{tangens} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
4-qadam: \(P (5, 7) \) nuqtasidan foydalanib, tangens chiziqning tenglamasini aniqlang:
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Soddalashtiring:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
Demak, tangens chiziqning tenglamasi quyidagicha:
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
2-savol: Chiziq tenglamasidan tangensiya nuqtasini aniqlash
Savol:
\(x^2 + y^2 = 25 \) tenglamaga ega aylana va \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) chiziq berilgan. Chiziq va aylana orasidagi urinish nuqtasini aniqlang.
Munozara:
1-qadam: Chiziq tenglamasini aylana tenglamasiga almashtiring:
Doira tenglamasi:
\[x^2 + y^2 = 25 \]
Aylana tenglamasiga \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) ni qo'ying:
\[ x^2 + \chap(\frac{3}{4}x + 2\o'ng)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \chap(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \o'ng) = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
2-qadam: Tenglamani soddalashtiring:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
3-qadam: Kvadrat formuladan foydalanib, ildizlarni topish:
$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $$ ni oling.
\[a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Tangensiya nuqtasiga asoslangan haqiqiy \( x \) ni tanlash (faqat bitta \( x \) tangensiya nuqtasini hosil qiladi):
\[ x = \frac{141.501}{50} \taxminan 2.83 \]
\[ x \taxminan 2.83 \]
4-qadam: \(x\) ni chiziq tenglamasiga qo'yib, \(y\) ni hosil qilamiz:
y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[y \taxminan 2.12 + 2 \]
\[ y \taxminan 4.12 \]
Demak, \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) chiziq va \(x^2 + y^2 = 25 \) aylana orasidagi urish nuqtasi \( (2.83, 4.12) \) ga teng.
Xulosa
Doira va tangens tushunchalarini o'zlashtirish geometriya asoslarini tushunishni va matematik tenglamalar yordamida masalalarni yechish qobiliyatini o'z ichiga oladi. Yuqoridagi kabi masalalar talabalarga nazariyani aniqroq vaziyatlarda qo'llashni mashq qilishga yordam beradi. Doimiy mashq qilish bilan talabalardan masalalarni osonroq tushunishlari va yechishlari kutilmoqda.
