Doira va yoylarni muhokama qilish uchun namunaviy savollar
Doira - bu ta'limning turli darajalarida tez-tez o'rganiladigan asosiy geometrik shakl. Bu tushuncha nafaqat akademik sohada dolzarb, balki kundalik hayotda, masalan, me'moriy dizayn, yo'l muhandisligi va hatto san'atda ham keng qo'llaniladi. Ushbu maqolada doiralar va yoylarga oid turli xil misol muammolari, shuningdek, ularning yechimlari muhokama qilinadi.
Doiralar va aylana yoylarini tushunish
Doira - bu tekislikdagi aylana markazi deb ataladigan berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan barcha nuqtalarning yig'indisi. Doira markazidan aylananing istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofa radius deb ataladi. Doira yoyi - bu aylananing aylanadagi ikkita nuqta bilan o'ralgan qismi.
Siz bilishingiz kerak bo'lgan asosiy formulalar
1. Doira atrofi (K):
\[
K = 2 \pi r
\]
bu yerda \(r \) aylananing radiusi va \(\pi \approx 3.14 \) yoki \(\pi \approx \frac{22}{7} \).
2. Doira maydoni (A):
\[
A = \pi r^2
\]
3. Yoy uzunligi(lar):
\[
s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
bu yerda \( \theta \) markaziy burchak gradusda.
4. Sektor maydoni (L):
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Namunaviy savollar va muhokama
1-savol: Doiraning aylanasi
Savol:
Doira radiusi 14 sm. Doiraning uzunligini hisoblang.
Munozara:
Doira uzunligi formulasidan foydalanib:
\[
K = 2 \pi r
\]
bu yerda \(r = 14 \) sm,
\[
K = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 2 \times 22 \times 2 = 88 \, \text{sm}
\]
Demak, aylananing uzunligi 88 sm ga teng.
2-savol: Doira maydoni
Savol:
Diametri 10 sm bo'lgan doira berilgan. Aylananing maydonini hisoblang.
Munozara:
Avvalo, aylananing radiusini topamiz:
\[
r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm}
\]
Doira maydoni formulasidan foydalanish:
\[
A = \pi r^2
\]
\[
A = \pi \times 5^2 = \pi \times 25 \taxminan 3.14 \times 25 = 78.5 \, \text{sm}^2
\]
Demak, aylananing maydoni 78.5 sm² ga teng.
3-savol: Aylana yoyining uzunligi
Savol:
Radiusi 21 sm bo'lgan aylananing markaziy burchagi 60° ga teng bo'lgan yoy bor. Yoyning uzunligi qancha?
Munozara:
Yoy uzunligi formulasidan foydalanish:
\[
s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
bu yerda \(\theta = 60^\circ \) va \(r = 21 \, \text{cm} \),
\[
s = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21
\]
\[
s = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21
\]
\[
s = \frac{1}{6} \times 132 = 22 \, \text{sm}
\]
Demak, yoyning uzunligi 22 sm.
4-savol: Sektorning maydoni
Savol:
Markaziy burchagi 90° va radiusi 7 sm bo'lgan aylana sektorining maydonini hisoblang.
Munozara:
Sektor maydoni formulasidan foydalanish:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
bu yerda \(\theta = 90^\circ \) va \(r = 7 \, \text{cm} \),
\[
L = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2
\]
\[
L = \frac{1}{4} \times \pi \times 49
\]
\[
L = \frac{49 \pi}{4}
\]
\[
L \approx \frac{49 \times 3.14}{4} \approx \frac{153.86}{4} \approx 38.465 \, \text{sm}^2
\]
Shunday qilib, sektorning maydoni 38 465 sm² ni tashkil qiladi.
5-savol: Atrof va maydonning kombinatsiyasi bo'yicha savollar
Savol:
Doiraning aylanasi 44 sm ga teng. Doiraning maydonini hisoblang.
Munozara:
Birinchidan, aylana radiusini aylana formulasidan foydalanib topamiz:
\[
K = 2 \pi r
\]
Bu yerda \( K = 44 \, \text{sm} \),
\[
44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r
\]
\[
44 = \frac{44}{7} \times r
\]
\[
r = \frac{44 \times 7}{44} = 7 \, \text{sm}
\]
Keyin, aylananing maydonini hisoblang:
\[
A = \pi r^2
\]
\[
A = \pi \times 7^2 = \pi \times 49 \taxminan 3.14 \times 49 \taxminan 153.86 \, \text{sm}^2
\]
Demak, aylananing maydoni 153.86 sm² ga teng.
6-savol: Doiralar orasidagi taqqoslash
Savol:
Ikki aylananing radiusi mos ravishda 5 sm va 10 sm ga teng. Ikki aylananing aylanasi va yuzi nisbatini aniqlang.
Munozara:
Atrofda:
Birinchi aylana uchun \( r_1 = 5 \, \text{sm} \):
\[
K_1 = 2 \pi r_1 = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \, \text{sm}
\]
Ikkinchi aylana uchun \( r_2 = 10 \, \text{sm} \):
\[
K_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi \times 10 = 20 \pi \, \text{sm}
\]
Perimetr taqqoslash:
\[
$ \frac{K_1}{K_2} = \frac{10 \pi}{20 \pi} = \frac{1}{2} $$
\]
Keng:
Birinchi doira uchun:
\[
A_1 = \pi r_1^2 = \pi \times 5^2 = 25 \pi \, \text{sm}^2
\]
Ikkinchi doira uchun:
\[
A_2 = \pi r_2^2 = \pi \times 10^2 = 100 \pi \, \text{sm}^2
\]
Hududni taqqoslash:
\[
$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{25 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{4} $$
\]
Shunday qilib, ikki doiraning aylanalarining nisbati 1:2 ga, ularning maydonlarining nisbati esa 1:4 ga teng.
Xulosa
Doira va yoylarning asosiy tushunchalari va formulalarini tushunish turli geometriya masalalarini yechish uchun juda muhimdir. Ushbu maqolada ushbu materialni tushunishingizni mustahkamlash uchun bir nechta misol masalalar va muhokamalar keltirilgan. Amaliy masalalar va chuqur tushunish sizga ushbu tushunchalarni turli o'rganish sohalarida va real hayotdagi vaziyatlarda qo'llashga yordam beradi.
