Determinatsiya koeffitsienti bo'yicha muhokama savoliga misol
Determinatsiya koeffitsienti (R²) regressiya tahlilida muhim parametr bo'lib, regressiya modeli ma'lumotlarning haqiqiy o'zgaruvchanligini qanchalik yaxshi tushuntirishini ko'rsatadi. Ushbu maqolada biz determinatsiya koeffitsienti tushunchasini batafsil misol va muhokama orqali tushuntiramiz.
Determinatsiya koeffitsientining asosiy tushunchasi
Determinatsiya koeffitsienti yoki \(R^2 \) 0 dan 1 gacha bo'lgan shkala bo'yicha o'lchanadi, bu yerda:
– \( R^2 = 0 \) regressiya modeli ma'lumotlarning o'zgaruvchanligini umuman tushuntira olmasligini ko'rsatadi.
– \( R^2 = 1 \) regressiya modeli ma'lumotlarning barcha o'zgaruvchanligini mukammal tushuntira olishini ko'rsatadi.
Determinatsiya koeffitsientini hisoblashning asosiy formulasi:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Qayerda:
– SSR (Kvadrat qoldiqlar yig'indisi) - bu model tomonidan bashorat qilingan qiymatlar va haqiqiy qiymatlar o'rtasidagi farqlar kvadratlarining yig'indisi.
– SST (Kvadratlar umumiy yig'indisi) - bu haqiqiy qiymat va haqiqiy qiymatlarning o'rtacha qiymati o'rtasidagi farqlar kvadratlari yig'indisining yig'indisi.
Muammolar namunasi
Determinatsiya koeffitsientini hisoblashni chuqurroq tushunish uchun misol masalasini ko'rib chiqaylik.
Muammolarga misol:
Aytaylik, bizda 10 talabaning o'qish soatlari soni (X) va imtihon ballari (Y) haqida ma'lumotlar mavjud:
| Talabalar | O'qish soatlari (X) | Imtihon ballari (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Biz imtihon ballari (Y) o'qish soatlari (X) asosida bashorat qilinadigan oddiy chiziqli regressiya modelini yaratamiz.
Munozara
1. Oddiy chiziqli regressiya modelini yaratish
Oddiy chiziqli regressiya modeli quyidagi shaklga ega:
Y = a + bX
Qayerda:
– \( Y \) taxmin qilingan test ballidir.
– \( X \) - o'qish soatlari soni.
– \( a \) kesishish nuqtasi (X = 0 bo'lganda Y o'qi bo'yicha kesishish nuqtasi).
– \( b \) qiyalik (regressiya chizig'ining moyilligi).
\( a \) va \( b \) parametrlarini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
bu yerda \(n \) - ma'lumotlar soni (bu holda n = 10).
Jadvaldan biz quyidagilarni hisoblashimiz mumkin:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Avval b ni hisoblaylik:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Keyin, biz quyidagilarni hisoblaymiz:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Shunday qilib, biz olgan chiziqli regressiya modeli quyidagicha:
Y = 56 + 4X
2. Bashorat qilingan qiymatni (Y') hisoblang
Keyin, har bir \(X \) uchun taxmin qilingan \(Y' \) qiymatini hisoblaymiz:
| Talabalar | O'qish soatlari (X) | Imtihon ballari (Y) | Bashorat qilingan ballar (Y') |
|——-|——————–|——————––|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR va SST ni hisoblash
Keyin, \(R^2 \) ni olish uchun SSR va SST ni hisoblaymiz.
SSR:
\[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Qayerda:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76
SST = 1107.44
4. Aniqlash koeffitsientini hisoblash \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Xulosa
Yuqoridagi hisob-kitobdan biz determinatsiya koeffitsientini oldik (R2 = 0.59). Bu shuni ko'rsatadiki, biz yaratgan chiziqli regressiya modeli o'qish soatlariga asoslangan imtihon ballaridagi o'zgaruvchanlikning taxminan 59% ni tushuntirishi mumkin. O'zgaruvchanlikning qolgan 41% modelga kiritilmagan boshqa omillarga bog'liq bo'lishi mumkin.
Yuqoridagi bosqichlar va hisob-kitoblarni tushunish orqali biz yaratgan regressiya modeli ma'lumotlarning haqiqiy o'zgaruvchanligini qanchalik yaxshi tushuntirayotganini baholashda determinatsiya koeffitsientining muhimligini ko'rishimiz mumkin. Bu statistik tahlil va ma'lumotlarni modellashtirishda juda foydali vositadir.
