Ortish funksiyalari, kamayish funksiyalari va statsionar funksiyalar bo'yicha misol savollar va muhokamalar
Matematik funksiyalar ancha chuqur mavzu bo'lib, turli xil xususiyatlarga to'la, ulardan biri ularni ortib boruvchi, kamayib boruvchi yoki statsionar holatlar nuqtai nazaridan qanday tahlil qilish mumkinligidir. Funksiyaning berilgan vaqt oralig'ida ortib boruvchi, kamayib boruvchi yoki doimiy ekanligini bilish matematikaning turli qo'llanmalarida, jumladan, iqtisodiyot, fizika va muhandislikda juda muhimdir. Ushbu maqolada ortib boruvchi, kamayib boruvchi va statsionar funksiyalarga oid misollar va ularning muhokamasi ko'rib chiqiladi.
O'sish funksiyalari, kamayish funksiyalari va statsionar funksiyalar nima?
1. Oshirish funksiyasi: Agar \(f(x) \) funksiyasi \(x_1 < x_2 \) bo'lgan \(I \) da har bir \(x_1 \) va \(x_2 \) uchun \(f(x_1) \leq f(x_2) \) ga ega bo'lsa, \(f(x) \) funksiyasi \(I \) oraliqda oshirish deb ataladi. 2. Kamaytirish funksiyasi: Aksincha, \(f(x) \) funksiyasi \(x_1 < x_2 \) bo'lgan \(I \) da har bir \(x_1 \) va \(x_2 \) uchun \(f(x_1) \geq f(x_2) \) ga ega bo'lsa, \(f(x) \) oraliqda oshirish deb ataladi. 3. Statsionar funksiya: Agar \(f(x) \) funksiya \(I \) oraliqda statsionar deyiladi, agar \(I \) dagi har bir \(x \) uchun funksiya bir xil qiymatga ega bo'lsa, ya'ni \(I \) dagi har bir \(x \) uchun \(f(x) = c \) bo'lsa, bu yerda c o'zgarmas bo'ladi.
1-misol: Ortuvchi funksiyalar intervallarini aniqlash \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \) funksiyasi berilgan. Funksiya ortib borayotgan intervallarni aniqlang! Munozara: Funksiya ortib borayotgan intervallarni aniqlash uchun biz funksiyaning birinchi hosilasini topib, keyin hosilaning ishorasini tahlil qilishimiz kerak. 1. 1-qadam: Birinchi hosilani toping: \[f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. 2-qadam: Kritik nuqtani aniqlang: Kritik nuqta - bu birinchi hosila nolga teng yoki aniqlanmagan nuqta. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Butun tenglamani 6 ga bo'ling: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Ushbu kvadrat tenglamani faktorlarga ajratamiz: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Demak, kritik nuqtalar \( x = 2 \) va \( x = -1 \). 3. 3-qadam: Kritik nuqtalar hosil qilgan oraliqdagi birinchi hosilaning belgisini aniqlang: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) va \( (2, \infty) \) oraliqlaridagi \( f'(x) \) uchun belgi jadvalini yaratamiz. - \(x \in (-\infty, -1) \) uchun: \(x = -2 \) \[f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] ni olaylik, chunki \(f'(-2) > 0 \), u holda \(f(x) \) \(-\infty, -1) \) oralig'ida ortib boradi. – \(x \in (-1, 2) \) uchun: \(x = 0 \) ni oling.
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Chunki \(f'(0) < 0 \), u holda \(f(x) \) \((-1, 2) \) oralig'ida kamayadi. - \(x \in (2, \infty) \) uchun: \(x = 3 \) \[f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] ni olaylik, chunki \(f'(3) > 0 \), u holda \(f(x) \) \((2, \infty) \) oralig'ida ortib boradi.
Demak, \(f(x) \) funksiya \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) oralig'ida ortib bormoqda.
2-misol masala: Kamayib borayotgan funksiya oralig'ini aniqlash
\(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) funksiyasi berilgan. Funksiya kamayadigan oraliqlarni aniqlang!
Munozara:
1. 1-qadam: Birinchi hosilani toping:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. 2-qadam: Kritik nuqtani aniqlang:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Demak, kritik nuqtalar \(x = 0 \) va \(x = \frac{3}{2} \).
3. 3-qadam: Intervaldagi birinchi hosilaning belgisini aniqlang:
– \(x \in (-\infty, 0) \) uchun: \(x = -1 \) ni oling.
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
\(g'(-1) < 0 \) bo'lgani uchun, \(g(x) \) \( (-\infty, 0) \) oralig'ida kamayadi.
Demak, \(g(x) \) funksiya \(-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) oralig'ida kamayadi.
3-misol savol: Tinch holatdagi funksiyaning intervalini aniqlash
\(h(x) = 7 \) funksiyasi berilgan holda, funksiya statsionar bo'lgan intervallarni aniqlang!
Munozara:
\(h(x) = 7 \) kabi doimiy funksiya barcha \(x \) uchun nolga teng birinchi hosilaga ega:
\[ h'(x) = 0 \]
Birinchi hosila har doim nolga teng bo'lgani uchun, funksiya butun domenda statsionar, shuning uchun \(h(x) = 7 \) funksiyasi barcha haqiqiy sonlar ustida statsionar, deb aytishimiz mumkin, bu intervalli yozuvda \( (-\infty, \infty) \).
Xulosa
Funksiyaning ortib boruvchi, kamayib boruvchi va statsionar holatlar intervallarini tushunish funktsional tahlilning muhim qismidir. Yuqoridagi misollar orqali biz ushbu intervallarni topish uchun zarur bo'lgan asosiy tushunchalar va bosqichlarni ko'rib chiqdik. Bu bilim matematikaning turli amaliy va nazariy qo'llanmalarida juda foydali.
