In'yektiv, Sur'yektiv va Bi'yektiv funksiyalarga oid misol savollar va muhokamalar
Funksiyaning ta'rifi va uning matematikada foydaliligi ko'pincha qiziqarli muhokama mavzusi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, biz tez-tez in'ektsiya, sur'ektiv va bijektiv funksiyalar kabi atamalarga duch kelamiz. Ushbu uch turdagi funksiyalarni tushunish matematik tahlil va ularning informatika, iqtisodiyot va fizika kabi turli sohalarda amaliy qo'llanilishi uchun juda muhimdir.
In'yektiv, Sur'yektiv va Bijektiv funksiyalarni tushunish
Misol savollar va ularning muhokamasini muhokama qilishdan oldin, avval uchta funksiyaning ta'riflarini eslaylik.
1. In'yeksiya funksiyasi (Yakka funksiya): f : A → B funksiyasi A domenidagi har bir a1 va a2 uchun, agar f(a1) = f(a2) bo'lsa, a1 a2 ga teng bo'lishi kerak bo'lsa, in'yeksiya deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, in'yeksiya funksiyasi A domenidagi turli elementlarning B kod domenidagi turli elementlarga mos kelishini ta'minlaydi.
2. Surjectiv funksiya (Onto Function): Agar B koddomenidagi har bir element A domenida unga bog'langan kamida bitta elementga ega bo'lsa, f : A → B funksiya surjectiv deb ataladi. Bu holda, B koddomenida "bo'sh" elementlar yoki A domenidan o'xshash elementlar yo'q.
3. Bijektiv funksiya (Yakkama-yakka moslik): f : A → B funksiyasi ham in'ektsiya, ham sur'ektiv bo'lsa, bijektiv deb ataladi. Bu shuni anglatadiki, A domenidagi har bir element B kodomainida noyob o'xshashlikka ega va B kodomainidagi har bir element ham A domenida noyob o'xshashlikka ega.
Namunaviy savollar va muhokamalar
1-savol: In'ektsiya funktsiyasi
Savol:
f(x) = 2x + 3 deb belgilangan f: ℝ → ℝ funksiyasi berilgan. Bu funksiya in'yeksiya funksiyasi ekanligini isbotlang.
Munozara:
Bu funksiyaning in'yeksiya ekanligini isbotlash uchun, agar f(a) = f(b) bo'lsa, a = b ekanligini ko'rsatishimiz kerak.
Aytaylik, f(a) = f(b), biz quyidagilarni aytamiz:
\[2a + 3 = 2b + 3 \]
Ikkala tomondan ham 3 ni ayiring:
\[ 2a = 2b \]
Ikkala tomonni ham 2 ga bo'ling:
\[ a = b \]
f(a) = f(b) funksiyasi a = b ni hosil qilishini ko'rsatganimiz uchun, f(x) = 2x + 3 funksiyasi in'ektsiya funksiyasi hisoblanadi.
2-savol: Subyektiv funksiya
Savol:
g(x) = x^3 deb belgilangan g: ℝ → ℝ funksiyasi berilgan. Bu funksiya sur'ektiv funksiya ekanligini isbotlang.
Munozara:
Bu funksiyaning syuryetiv ekanligini isbotlash uchun, ℝ koddomenidagi har bir y element uchun ℝ domenida g(x) = y bo'ladigan kamida bitta x element mavjudligini ko'rsatishimiz kerak.
y ∈ ℝ bo'lsin. Biz x ni shunday topishni xohlaymizki:
\[x^3 = y \]
\(x = \sqrt[3]{y} \) ni olaylik:
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
ℝ koddomenidagi har bir y uchun \(x = \sqrt[3]{y} \) bo'lgan x ni topishimiz mumkinligi sababli, g(x) = x^3 funksiyasi sur'ektiv funksiyadir.
3-savol: Bijektiv funksiyalar
Savol:
h(x) = x – 1 deb belgilangan h: ℝ → ℝ funksiyasi berilgan. Bu funksiyaning bijektiv ekanligini isbotlang.
Munozara:
In'ektsiya:
h(x) ning in'yeksiya ekanligini isbotlash uchun, agar h(a) = h(b) bo'lsa, a = b ekanligini ko'rsatishimiz kerak.
h(a) = h(b) bo'lsin:
\[ a – 1 = b – 1 \]
Ikkala tomonga ham 1 qo'shing:
\[ a = b \]
h(a) = h(b) a = b ni keltirib chiqarganligi sababli, h(x) = x – 1 funksiyasi in'ektsiya funksiyasi hisoblanadi.
Subyektiv:
h(x) ning syuryetiv ekanligini isbotlash uchun, ℝ koddomenidagi har bir y element uchun ℝ domenida h(x) = y bo'ladigan kamida bitta x element mavjudligini ko'rsatishimiz kerak.
y ∈ ℝ bo'lsin. Biz x ni shunday topishni xohlaymizki:
\[x – 1 = y \]
Ikkala tomonga ham 1 qo'shing:
\[x = y + 1 \]
ℝ koddomenidagi har bir y uchun x = y + 1 bo'lgan x ni topishimiz mumkinligi sababli, h(x) = x – 1 funksiyasi sur'ektiv funksiyadir.
h(x) in'yektiv va sur'yektiv bo'lgani uchun, h(x) bijektiv funksiyadir.
4-savol: Funksiya turini aniqlash
Savol:
f(x) = 2x deb belgilangan f funksiyasi berilgan: ℕ → ℕ. f ning in'yektiv, sur'yektiv yoki bijektiv funksiya ekanligini aniqlang.
Munozara:
In'ektsiya:
Bu funksiyaning in'yeksiya ekanligini isbotlash uchun, agar f(a) = f(b) bo'lsa, a = b ekanligini ko'rsatishimiz kerak.
Aytaylik, f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Ikkala tomonni ham 2 ga bo'ling:
\[ a = b \]
Shuning uchun, f(x) = 2x in'ektsiya funksiyasi hisoblanadi.
Subyektiv:
Bu funksiyaning sur'yektiv ekanligini isbotlash uchun, ℕ koddomenidagi har bir y element uchun ℕ domenida f(x) = y bo'ladigan kamida bitta x element mavjudligini ko'rsatishimiz kerak.
Lekin kodomain ℕ (natural sonlar) ekanligini, f(x) = 2x esa faqat juft sonlarni berishini unutmang. Aytaylik, y toq son bo'lsa, ℕ da 2x = y bo'ladigan x yo'q.
Shuning uchun, f(x) = 2x sur'yektiv funksiya emas.
f(x) sur'yektiv bo'lmaganligi sababli, f(x) ham bijektiv emas.
Yuqoridagi turli misollarga asoslanib, biz turli xil funksiya ta'riflaridan funksiya turlarini (in'yektiv, sur'yektiv, bi'yektiv) qanday isbotlash va aniqlashni ko'rishimiz mumkin. Bu funksiyalarni tushunish matematikaning ko'p jihatlari va uning real hayotdagi qo'llanilishida juda muhimdir.
