Binomial taqsimot funksiyasini muhokama qilish uchun namunaviy savollar
Binomial taqsimot - bu ikkita mumkin bo'lgan natijaga ega bo'lgan bir qator mustaqil sinovlardan iborat tajribadagi muvaffaqiyatlar sonini tavsiflovchi diskret ehtimollik taqsimoti: muvaffaqiyat va muvaffaqiyatsizlik. Har bir sinov sinov deb ataladi va binomial taqsimot ko'pincha bir qator mustaqil sinovlardagi muvaffaqiyatlar soni qiziqish uyg'otadigan holatlarda qo'llaniladi. Ushbu maqolada biz binomial taqsimotning asosiy tushunchalarini muhokama qilamiz va misollar va yechimlarni taqdim etamiz.
Binomial taqsimot funksiyasining asosiy tushunchalari
Misol savollar va muhokamaga kirishishdan oldin, binomial taqsimot bilan bog'liq ba'zi asosiy tushunchalarni muhokama qilaylik.
1. Ta'rif: Binomial taqsimot 'n' mustaqil sinovlardagi muvaffaqiyatlar yig'indisi sifatida aniqlanadi, bu yerda har bir sinov ikkita mumkin bo'lgan natijaga ega: muvaffaqiyat (p ehtimollik bilan) yoki muvaffaqiyatsizlik (q = 1 – p ehtimollik bilan).
2. Ehtimollik funksiyasi: Binomial taqsimotning ehtimollik funksiyasi quyidagicha:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Qayerda:
– \( P(X = k) \) n ta sinovda k ta muvaffaqiyatga erishish ehtimoli.
– \( \binom{n}{k} \) n ning k ni qabul qilish kombinatsiyasi bo'lib, u \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) deb ta'riflanadi.
– \( p \) har bir sinovda muvaffaqiyat qozonish ehtimoli.
– \( (1-p) \) har bir sinovda muvaffaqiyatsizlik ehtimoli.
3. Kutilayotgan qiymat va o'zgaruvchanlik:
– Binomial taqsimotning kutilgan qiymati (o'rtacha qiymati) \( \mu = np \) ga teng.
– Binomial taqsimotning dispersiyasi \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Endi chuqurroq tushunish uchun ushbu tushunchalarni misol masalasida qo'llaylik.
1-misol savol: Binomial taqsimotning asosiy hisob-kitoblari
Savol:
Kompaniya har bir komponent sifat sinovidan o'tish ehtimoli 0.95 bo'lgan elektron komponentlarni ishlab chiqaradi. Agar 10 ta komponent ishlab chiqarilsa, aniq 8 ta komponent sifat sinovidan o'tish ehtimolini hisoblang.
Munozara:
Bu muammoni yechish uchun binomial taqsimot formulasidan foydalanishimiz mumkin. Avvalo, quyidagi parametrlarni aniqlaymiz:
– \( n \) (umumiy sinovlar soni) = 10
– \( k \) (muvaffaqiyatlar soni) = 8
– \( p \) (muvaffaqiyat ehtimoli) = 0.95
– \( q \) (muvaffaqiyatsizlik ehtimoli) = 1 – 0.95 = 0.05
Keyin bu qiymatlarni binomial taqsimot formulasiga almashtiring:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Avvalo, \( \binom{10}{8} \) kombinatsiyasini hisoblang:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \marta 9 \marta 8!}{8! \marta 2!} = \frac{10 \marta 9}{2 \marta 1} = 45
\]
Keyin, \( (0.95)^8 \) va \( (0.05)^2 \) ehtimolliklarini hisoblang:
\[
(0.95)^8 \taxminan 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Nihoyat, quyidagi qiymatlarni olish uchun barcha qiymatlarni ko'paytiring:
\[
P(X = 8) = 45 \marta 0.6634 \marta 0.0025 \taxminan 0.0744
\]
Demak, 10 ta komponentdan atigi 8 tasi sifat sinovidan o'tish ehtimoli taxminan 0.0744 yoki 7.44% ni tashkil qiladi.
2-misol savol: Kümülatif ehtimollik
Savol:
Hali ham o'sha kompaniyada, 10 ta komponentdan kamida 9 tasi sifat sinovidan o'tish ehtimolini hisoblang.
Munozara:
Bu muammoni hal qilish uchun biz kümülatif ehtimollikni hisoblashimiz kerak. 10 ta komponentdan kamida 9 tasi testdan o'tish ehtimoli biz \(P(X \geq 9) \) ni hisoblashimizni anglatadi, uni quyidagicha yozish mumkin:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Binomial taqsimot formulasidan foydalanish:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Birinchidan, har bir holat uchun kombinatsiyani hisoblang:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Keyin, \(P(X = 9) \) va \(P(X = 10) \) uchun ehtimolliklarni hisoblang:
\[
P(X = 9) = 10 marta (0.95)^9 marta 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \taxminan 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \marta 0.6302 \marta 0.05 \taxminan 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \taxminan 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
\(P(X \geq 9) \) uchun umumiy ehtimollik:
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \taxminan 0.9138
\]
Demak, 10 ta komponentdan kamida 9 tasi sifat sinovidan o'tish ehtimoli taxminan 0.9138 yoki 91.38% ni tashkil qiladi.
3-misol savol: Kutilayotgan qiymat va dispersiya
Savol:
Ishlab chiqarilgan 10 ta komponentdan sifat sinovidan o'tgan komponentlar sonining kutilgan qiymati va dispersiyasini hisoblang, bunda o'tish ehtimoli 0.95 ga teng.
Munozara:
Quyidagi formuladan foydalaning:
– Kutilgan qiymat (o'rtacha) \( \mu = np \)
– Dispersiya \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\(n = 10 \) va \(p = 0.95 \) bilan:
\[
\mu = 10 \marta 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \marta 0.95 \marta 0.05 = 0.475
\]
Demak, sifat testidan o'tgan komponentlar sonining kutilgan qiymati 9.5 ga, dispersiyasi esa 0.475 ga teng.
Xulosa
Yuqoridagi uchta misol masalalar orqali biz turli vaziyatlar uchun binomial taqsimot yordamida ehtimollikni qanday hisoblashni muhokama qildik: aniq ehtimollikni, kümülatif ehtimollikni hisoblash va kutilgan qiymat va dispersiyani hisoblash. Binomial taqsimot haqidagi bilim ishlab chiqarish, tibbiy tadqiqotlar va ijtimoiy statistika kabi turli sohalarda foydalidir, bu yerda ikkita mumkin bo'lgan natijaga ega takroriy tajribalar natijalarini qaror qabul qilishga yordam berish uchun tahlil qilish mumkin. Umid qilamizki, taqdim etilgan misol masalalar va muhokamalar binomial taqsimot haqidagi tushunchangizni yanada chuqurroq tushunishga yordam beradi.
