Matematik dilatatsiya bo'yicha muhokama savollariga misol
Kengaytirish yoki kattalashtirish va qisqartirishni o'z ichiga olgan transformatsiya transformatsiya geometriyasida muhim tushunchadir. Bu tushuncha ko'pincha turli kontekstlarda, masalan, naqshlarni o'rganish, simmetriya va boshqa ko'plab real hayotdagi qo'llanmalarda uchraydi. Ushbu maqolada matematikada kengayish tushunchasi muhokama qilinadi va bir nechta misollar va yechimlar keltirilgan.
Dilatatsiya nima?
Kengaytirish - bu shaklni ma'lum bir masshtab koeffitsientiga kattalashtirish yoki kichraytirishni o'z ichiga olgan geometrik o'zgarish. Kengayishda geometrik figuradagi nuqta bir xil ko'paytirgich bilan kengayish markazi nuqtasidan uzoqlashadi yoki unga yaqinlashadi. Kengaytirish kattalashishi (masshtab koeffitsienti > 1), kamayishi (0 < masshtab koeffitsienti < 1) yoki hatto masshtab koeffitsienti manfiy bo'lsa, shaklni aks ettirishi mumkin. Dilatatsiyadagi yozuvlar Dilatatsiyani amalga oshirishda ko'pincha ishlatiladigan ba'zi yozuvlar quyidagilarni o'z ichiga oladi: - Dilatatsiya markazi (P): Dilatatsiya jarayonida mos yozuv sifatida ishlatiladigan qo'zg'almas nuqta. - Masshtab koeffitsienti (k): Kattalashtirish yoki qisqarishning qancha sodir bo'lishini belgilovchi uzunlik nisbati. Agar \(k > 1 \) bo'lsa, obyekt kattalashtiriladi. Agar \(0 < k < 1 \) bo'lsa, obyekt hajmi kichrayadi. Aytaylik, koordinatalari (x, y) bo'lgan A nuqta A' nuqtasiga k masshtab koeffitsienti va O (0,0) da kengayish markazi bilan kengaytirilgan, u holda A' koordinatalari (kx, ky) bo'ladi. Dilatatsiya formulasi Nuqtaning dilatatsiyasi natijasida hosil bo'lgan yangi koordinatalarni topish uchun quyidagi formula qo'llaniladi: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] bu yerda (x, y) nuqtaning boshlang'ich koordinatalari va k masshtab koeffitsienti. Namunaviy savollar va muhokama 1-namunaviy savol A (2, 3) nuqta 2 shkala koeffitsienti bilan kengaytirilgan va kengayish markazi O (0, 0) nuqtasida joylashgan. Kengaytirilgandan keyin A nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Munozara: A nuqtaning koordinatalari (2, 3), masshtab koeffitsienti k = 2 va dilatatsiya markazi O nuqta (0, 0) dir. Dilatatsiya formulasiga ko'ra: \[ A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Demak, A nuqtaning dilatatsiyadan keyingi koordinatalari (4, 6) ga teng. 2-savolga misol. B nuqta (-1, 4) 0,5 masshtab koeffitsienti bilan kengaytirilgan va kengayish markazi O (0, 0) nuqtada joylashgan. Kengaytirilgandan keyin B nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Munozara: B nuqtaning koordinatalari (-1, 4), masshtab koeffitsienti k = 0,5 va dilatatsiya markazi O nuqta (0, 0). Dilatatsiya formulasiga ko'ra: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Demak, B nuqtaning dilatatsiyadan keyingi koordinatalari (-0,5, 2) ga teng. 3-savolga misol. C (3, -2) nuqtasi -1 masshtab koeffitsienti bilan kengaytirilgan va kengayish markazi O (0, 0) nuqtada joylashgan. Kengaytirilgandan keyin C nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Munozara: C nuqtaning koordinatalari (3, -2), masshtab koeffitsienti k = -1 va dilatatsiya markazi O nuqta (0, 0) dir. Dilatatsiya formulasiga ko'ra: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Demak, C nuqtaning dilatatsiyadan keyingi koordinatalari (-3, 2) ga teng. 4-savolga misol. D (2, 5) nuqtasi 3 ga teng masshtab koeffitsienti bilan kengaytirilgan va kengayish markazi P (1, 1) nuqtasida joylashgan. Kengaytirilgandan keyin D nuqtasining koordinatalarini aniqlang. Munozara: D nuqtaning koordinatalari (2, 5), masshtab koeffitsiyenti k = 3 va dilatatsiya markazi P nuqtasi (1, 1). Birinchidan, biz D nuqtasini kengayish markazi koordinatalar tizimi P (1, 1) ga siljitamiz: D ning P ga nisbiy koordinatalari quyidagicha: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] D_r nuqtasida masshtab koeffitsienti k bilan kengayishni amalga oshiramiz: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Nihoyat, biz D_r' nuqtasini asl koordinatalar tizimiga qaytaramiz: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Demak, D nuqtasining kengayishdan keyingi koordinatalari (4, 13) ga teng. 5-savolga misol. E (-2, -3) nuqtasi 0,25 masshtab koeffitsienti bilan kengaytirilgan va kengayish markazi P (-1, -1) nuqtasida joylashgan. Kengaytirilgandan keyin E nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Munozara: E nuqtaning koordinatalari (-2, -3), masshtab koeffitsienti k = 0,25 va dilatatsiya markazi P nuqtasi (-1, -1). Birinchidan, biz E nuqtani kengayish markazi koordinatalar tizimi P (-1, -1) ga siljitamiz: E ning P ga nisbiy koordinatalari quyidagicha: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] E_r nuqtasida masshtab koeffitsienti k bilan kengayishni amalga oshiring: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Nihoyat, biz E_r' nuqtani asl koordinatalar tizimiga qaytaramiz: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Demak, kengayishdan keyingi E nuqtaning koordinatalari (-1,25, -1,5) ga teng. Xulosa Dilatatsiya - bu geometrik shaklni ma'lum bir masshtab koeffitsientiga kattalashtiradigan yoki kichraytiradigan geometrik o'zgarish. Kengayish tushunchasi va qo'llanilishini tushunish turli xil o'rganish sohalarida, ayniqsa geometriyada juda foydali. Misol savollar va muhokamalar yordamida, bu talabalar va o'quvchilarga turli matematik vaziyatlarda dilatatsiya tushunchasini yaxshiroq tushunish va qo'llashga yordam beradi deb umid qilinadi.
