Matematik dilatatsiya bo'yicha muhokama savollariga misol
Kengaytirish yoki kattalashtirish va qisqartirishni o'z ichiga olgan transformatsiya transformatsiya geometriyasida muhim tushunchadir. Bu tushuncha ko'pincha turli kontekstlarda, masalan, naqshlarni o'rganish, simmetriya va boshqa ko'plab real hayotdagi qo'llanmalarda uchraydi. Ushbu maqolada matematikada kengayish tushunchasi muhokama qilinadi va bir nechta misollar va yechimlar keltirilgan.
Dilatatsiya nima?
Kengaytirish - bu figurani ma'lum bir masshtab koeffitsientiga kattalashtirish yoki kichraytirishni o'z ichiga olgan geometrik o'zgarish. Kengaytirishda geometrik figuradagi nuqta kengayish markazi nuqtasidan xuddi shu koeffitsientga uzoqlashadi yoki yaqinlashadi. Kengaytirish kattalashishi (masshtab koeffitsienti > 1), kichrayishi (0 < masshtab koeffitsienti < 1) yoki hatto masshtab koeffitsienti manfiy bo'lsa, figurani aks ettirishi mumkin. Kengaytirishdagi yozuvlar Kengaytirishni amalga oshirishda ko'pincha ishlatiladigan ba'zi yozuvlar quyidagilarni o'z ichiga oladi: - Kengaytirish markazi (P): Kengaytirish jarayonida mos yozuv sifatida ishlatiladigan qo'zg'almas nuqta. - Masshtab koeffitsienti (k): Qancha kattalashish yoki kichraytirish sodir bo'lishini belgilaydigan uzunliklar nisbati. Agar \( k > 1 \) bo'lsa, obyekt kattalashtiriladi. Agar \( 0 < k < 1 \) bo'lsa, obyekt kichrayadi.
Aytaylik, koordinatalari (x, y) bo'lgan A nuqta A' nuqtasiga k masshtab koeffitsienti va O (0,0) da kengayish markazi bilan kengaytirilgan, u holda A' koordinatalari (kx, ky) bo'ladi. Dilatatsiya formulasi Nuqtaning kengaygan natijasining yangi koordinatalarini topish uchun quyidagi formula qo'llaniladi: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] bu yerda (x, y) nuqtaning boshlang'ich koordinatalari va k masshtab koeffitsienti. Misol savollar va muhokama 1-savolga misol A (2, 3) nuqtasi 2 masshtab koeffitsienti bilan kengaytirilgan va kengayish markazi O (0, 0) da joylashgan. Dilatatsiyadan keyin A nuqtasining koordinatalarini aniqlang. Munozara: A nuqtasining koordinatalari (2, 3), masshtab koeffitsienti k = 2 va kengayish markazi O (0, 0) nuqtadir. Dilatatsiya formulasiga ko'ra: \[A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Demak, A nuqtaning dilatatsiyadan keyingi koordinatalari (4, 6) ga teng. 2-savolga misol. B nuqta (-1, 4) 0,5 masshtab koeffitsienti bilan dilatatsiya qilingan va dilatatsiya markazi O (0, 0) nuqtasida joylashgan. Dilatatsiyadan keyingi B nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Yechim: B nuqtaning koordinatalari (-1, 4), masshtab koeffitsienti k = 0,5 va dilatatsiya markazi O nuqta (0, 0). Dilatatsiya formulasiga ko'ra: \[B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Demak, B nuqtaning kengaygandan keyingi koordinatalari (-0,5, 2). 3-savolga misol. C nuqta (3, -2) -1 masshtab koeffitsienti bilan kengaygan va kengayish markazi O (0, 0) nuqtada joylashgan. Kengaygandan keyingi C nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Yechim: C nuqtaning koordinatalari (3, -2), masshtab koeffitsienti k = -1 va kengayish markazi O (0, 0) nuqtada joylashgan. Kengaytirish formulasiga ko'ra: \[C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Demak, C nuqtaning kengaygandan keyingi koordinatalari (-3, 2). 4-savolga misol. D nuqta (2, 5) 3 masshtab koeffitsienti bilan kengaygan va kengayish markazi P (1, 1) nuqtada joylashgan. Kengaygandan keyingi D nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Munozara: D nuqtaning koordinatalari (2, 5), masshtab koeffitsiyenti k = 3 va kengayish markazi P nuqtasi (1, 1). Avval D nuqtasini P (1, 1) kengayish markazining koordinatalar tizimiga o'tkazamiz: D ning P ga nisbatan nisbiy koordinatalari: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] D_r nuqtasida masshtab koeffitsiyenti k bilan kengayishni bajaring: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Nihoyat, biz D_r' nuqtasini boshlang'ich koordinatalar tizimiga qaytaramiz: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Demak, D nuqtasining kengaygandan keyingi koordinatalari (4, 13) ga teng. 5-savolga misol. E nuqtasi (-2, -3) 0,25 masshtab koeffitsienti bilan kengaygan va kengayish markazi P (-1, -1) nuqtasida joylashgan. Kengaygandan keyingi E nuqtasining koordinatalarini aniqlang. Yechim: E nuqtasining koordinatalari (-2, -3), masshtab koeffitsienti k = 0,25 va kengayish markazi P (-1, -1) nuqtasidir. Birinchidan, biz E nuqtani kengayish markazi koordinatalar tizimi P (-1, -1) ga siljitamiz: E ning P ga nisbiy koordinatalari quyidagicha: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] E_r nuqtasida masshtab koeffitsienti k bilan kengayishni amalga oshiring: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Nihoyat, biz E_r' nuqtani asl koordinatalar tizimiga qaytaramiz: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Demak, kengayishdan keyingi E nuqtaning koordinatalari (-1,25, -1,5) ga teng. Xulosa: Dilatatsiya - bu geometrik figurani ma'lum bir masshtab koeffitsientiga kattalashtiradigan yoki kichraytiradigan geometrik o'zgarishdir. Dilatatsiya tushunchasi va qo'llanilishini tushunish turli xil o'rganish sohalarida, ayniqsa geometriyada juda foydali. Misollar va muhokamalar yordamida bu talabalar va o'quvchilarga dilatatsiya tushunchasini turli matematik vaziyatlarda yaxshiroq tushunish va qo'llashga yordam beradi deb umid qilamiz.