Doira ta'rifini muhokama qilish bo'yicha namunaviy savollar
Doira kundalik hayotda tez-tez duch keladigan asosiy geometrik shakllardan biridir. Matematikada doiralar o'ziga xos ta'riflar va xususiyatlarga ega. Ushbu maqolada doira va unga bog'liq elementlarning ta'rifi chuqur o'rganiladi, shuningdek, doiralar haqidagi tushunchamizni chuqurlashtirish uchun bir nechta misol masalalar va ularning yechimlari keltirilgan.
Doira ta'rifi
Doira - bu tekislikdagi aylananing markazi deb ataladigan qo'zg'almas nuqtadan teng masofada joylashgan barcha nuqtalar to'plami. Markaz va aylananing istalgan nuqtasi orasidagi masofa aylananing radiusi deb ataladi. Markazi \((h, k)\) nuqtada va radiusi \(r\) bo'lgan aylananing umumiy tenglamasi quyidagicha berilgan:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
U yerda:
– \((h, k)\) aylana markazining koordinatalari,
– \(r\) aylananing radiusi,
– \(x\) va \(y\) aylanadagi istalgan nuqtaning koordinatalari.
Doira elementlari
Namunaviy savollarga o'tishdan oldin, doiradagi ba'zi muhim elementlarni bilish yaxshi fikr:
1. Doira markazi: Bir xil masofada joylashgan barcha nuqtalarning markazi bo'lgan qo'zg'almas nuqta.
2. Radius (r): Aylana markazidan aylananing istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofa.
3. Diametr (d): Aylananing markazidan o'tuvchi va aylanadagi ikkita nuqtani bog'lovchi to'g'ri chiziqning uzunligi radiusdan ikki baravar katta (\(d = 2r\)).
4. Yoy: Aylananing aylana ustidagi ikki nuqta orasida joylashgan qismi.
5. Akkord: Aylanadagi ikkita nuqtani bog'laydigan, ammo markazdan o'tmaydigan to'g'ri chiziq.
6. Apothem: Aylana markazidan akkordgacha bo'lgan eng qisqa masofa.
7. Markaziy burchak: Aylana markazidan ikki radius bilan hosil qilingan burchak.
8. Perimetr burchagi: Aylananing bir nuqtasida kesishgan ikkita xord tomonidan hosil qilingan burchak.
Namunaviy savollar va muhokamalar
1-namuna savol
Savol: Markazi \((3, 4)\) nuqtada bo'lgan va \((7, 4)\) nuqtadan o'tuvchi aylana berilgan. Aylana tenglamasini toping.
Munozara:
Doira tenglamasini topish uchun avval uning radiusini bilishimiz kerak. Doira \((7, 4)\) nuqtadan o'tganligi sababli, biz bu nuqta va aylana markazi orasidagi masofani, ya'ni \((3, 4)\) hisoblashimiz mumkin.
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4
\]
Markaz �((3, 4)\) nuqtada va radius 4 ga teng bo'lgan aylana tenglamasi quyidagicha:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
2-namuna savol
Savol: Radiusi 5 sm bo'lgan aylananing yuzini va atrofini aniqlang.
Munozara:
– Aylananing yuzi (A) ni \(A = \pi r^2\) formulasi yordamida hisoblash mumkin,
\[
A = \pi \marta 5^2
\]
\[
A = 25\pi \text{ sm}^2
\]
Agar \(\pi \taxminan 3.14\) bo'lsa, unda:
\[
A \taxminan 25 \ marta 3.14 = 78.5 \text{sm}^2
\]
– Aylananing atrofi (C) ni \(C = 2\pi r\) formulasi yordamida hisoblash mumkin,
\[
C = 2 \times \pi \times 5
\]
\[
C = 10\pi \text{ sm}
\]
Agar \(\pi \taxminan 3.14\) bo'lsa, unda:
\[
C \taxminan 10 \ marta 3.14 = 31.4 \text{sm}
\]
3-namuna savol
Savol: Aylananing markazi O nuqtada va radiusi 7 sm ga teng. Agar aylanaga uzunligi 10 sm bo'lgan xord chizilgan bo'lsa, O markazidan xordaga eng qisqa masofani aniqlang.
Munozara:
Markazdan akkordgacha eng qisqa masofani topish uchun biz apotem tushunchasidan foydalanamiz, bu markazdan akkordgacha eng qisqa masofa. Radiusi 7 sm va akkord uzunligi 10 sm bo'lgan holda, biz bu muammoga hosil bo'lgan to'g'ri uchburchak yordamida yondashishimiz mumkin.
Agar akkordning o'rta nuqtasi C nuqtasi bo'lsa, u holda OC biz izlayotgan apotemadir. Agar A va B akkordning so'nggi nuqtalari bo'lsa, u holda AC va BC har biri 5 sm (10 sm ning yarmi).
C nuqtada to'g'ri burchakli OAC uchburchagidan biz Pifagor teoremasidan foydalanamiz:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ sm}
\]
4-namuna savol
Savol: \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\) tenglamaga ega aylana berilgan. Aylananing markazi va radiusini aniqlang.
Munozara:
Markaz va radiusni topish uchun tenglamani standart shaklga o'tkazamiz:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Kvadrat shaklni takomillashtirish orqali yechamiz:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
x-hadga (6/2)(^2) va y-hadga (8/2)(^2) qoʻshish va ayirish:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
\((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\) tenglamadan aylananing markazi \((-3, 4)\) va radiusi \(r = \sqrt{16} = 4\) ekanligini aniqlaymiz.
Xulosa
Doira geometriyada asosiy va muhim tushunchadir. Yuqoridagi misol masalalar va muhokamalar orqali biz doiralarning turli jihatlari va xususiyatlarini chuqurroq tushunishimiz mumkin. Ushbu mavzuni o'zlashtirish murakkabroq geometrik masalalarni tushunish va yechishni osonlashtiradi.
