Hosilalar zanjiri qoidasining namunaviy savollari va muhokamasi
Zanjir qoidasi differensial hisoblashdagi eng asosiy tushunchalardan biri bo'lib, ikki yoki undan ortiq funksiyalardan tashkil topgan funksiyaning hosilasini hisoblash uchun ishlatiladi. Ushbu maqolada biz zanjir qoidasining asosiy tushunchasini, undan qanday foydalanishni va o'rta maktab va kollejda tez-tez uchraydigan hosila masalalarida qo'llanilish misollarini muhokama qilamiz.
1. Zanjir qoidasiga kirish
Misol masalasiga kirishdan oldin, avval zanjir qoidasi nima ekanligini tushunib olaylik. Zanjir qoidasida aytilishicha, agar bizda ikkita differentsiallanadigan funksiya \(f\) va \(g\) bo'lsa va biz funksiyalar tarkibining hosilasini \(h = f(g(x)) \) topmoqchi bo'lsak, u holda \(h\) ning hosilasi quyidagicha bo'ladi:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Sodda qilib aytganda, biz tashqi funksiyaning hosilasini g(x) bo'yicha hisoblaymiz, keyin natijani ichki funksiyaning hosilasiga ko'paytiramiz \(g(x) \).
2. Kompozitsiyaning vazifasini tushunish
Misol masalalariga kirishdan oldin, kompozitsiya funksiyalarini tushunish muhimdir. Kompozitsiya funksiyasi - bu bir funksiyani boshqasiga qo'shish orqali olinadigan funksiya. Masalan, agar bizda \(f(x) = \sin(x) \) va \(g(x) = x^2 \) bo'lsa, unda ikkita funksiyaning tarkibi \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) bo'ladi.
Tarkibiy funksiyalarda biz ko'pincha \(g(x) \) ni “ichki funksiya” va \(f(x) \) ni “tashqi funksiya” deb bilamiz. Bu misolda ichki funksiya \(x^2 \) va tashqi funksiya sinusdir.
3. Namunaviy savollar va muhokama
Keling, zanjir qoidasidan foydalanib, ularni yechadigan ba'zi misol masalalarni ko'rib chiqaylik.
1-misol:
\(y = \cos(3x^2) \) funksiyasi berilgan holda, y ning x ga nisbatan birinchi hosilasini toping.
Munozara:
Birinchidan, biz ichki va tashqi funktsiyalarni aniqlaymiz. Bu yerda ichki funksiya \(g(x) = 3x^2 \) va tashqi funksiya \(f(g) = \cos(g) \) ga teng.
Biz bilamiz:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Zanjir qoidasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Demak, \(y = \cos(3x^2) \) ning hosilasi quyidagicha:
\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]
2-misol:
\(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) ning birinchi hosilasini toping.
Munozara:
Bu yerda ichki funksiya \(g(x) = 5x^3 + 2x \) va tashqi funksiya \(f(g) = e^g \) ga teng.
Biz bilamiz:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Zanjir qoidasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
Demak, \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) ning hosilasi quyidagicha:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
3-misol:
\(y = \ln(4x^2 – 5) \) ning birinchi hosilasini toping.
Munozara:
Ichki funksiya \(g(x) = 4x^2 – 5 \) va tashqi funksiya \(f(g) = \ln(g) \) ga teng.
Biz bilamiz:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Zanjir qoidasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Demak, \(y = \ln(4x^2 – 5) \) ning hosilasi quyidagicha:
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
4-misol:
y = (3x^2 + 2x + 1)^4) funksiyasi berilgan holda, uning hosilasini toping.
Munozara:
Ichki funksiya \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) va tashqi funksiya \(f(g) = g^4 \) ga teng.
Biz bilamiz:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Zanjir qoidasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Demak, \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) ning hosilasi quyidagicha:
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Maxsus holatlar va zanjir qoidalarini ishlab chiqish
Ba'zan zanjir qoidasi faqat ikkita funksiyaning tarkibi bilan cheklanib qolmaydi. Ba'zida funksiya ikkitadan ortiq funksiyalarning tarkibi bo'ladi, masalan: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Uchta funksiya uchun zanjir qoidasi qatlamlarda qo'llanilishi mumkin:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Ko'rib turganimizdek, har bir qatlamda ichki qatlamlarning hosilalariga o'tishdan oldin tashqi qatlamlarning hosilalarini hisoblaymiz.
5-misol:
\( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) berilgan holda, uning hosilasini toping.
Munozara:
Eng ichki funksiya √(k = 2x^2 + 1), oʻrtasi √(g = √(k)) va tashqisi √(f = √(g)) boʻladi.
Biz bilamiz:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Keling, zanjir qoidasini qatlamlarda qo'llaymiz:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Demak, \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) ning hosilasi quyidagicha:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulan
Zanjir qoidasi differensial hisoblashda, ayniqsa funksiyalarning tarkibi bilan ishlashda muhim rol o'ynaydi. Zanjir qoidasini tushunish va o'zlashtirish hisoblashdagi murakkabroq muammolarni hal qilish uchun mustahkam poydevor yaratadi. Ushbu maqolada zanjir qoidasining hosilalarga qo'llanilishini chuqur tushunish uchun bir nechta muhim misollar muhokama qilingan. Umid qilamizki, ushbu muhokama talabalar uchun foydali bo'ladi va turli xil qiyin matematik vaziyatlarga qo'llanilishi mumkin.
