O'zaro bog'liq bo'lmagan ikkita A va B hodisalarni qo'shish qoidasini muhokama qiluvchi misol savollar
Pendahuluan
Ehtimollik nazariyasida asosiy tushunchalar va ularning qo'llanilishini tushunish juda muhimdir. Tez-tez uchraydigan tushunchalardan biri bu ehtimollik qo'shish qoidasidir. Ushbu maqolada biz ikkita eksklyuziv bo'lmagan hodisa uchun qo'shish qoidasini chuqurroq o'rganamiz. Eksklyuziv bo'lmagan hodisalar ikkita hodisa mumkin bo'lgan elementni baham ko'rganda yoki boshqacha qilib aytganda, ikkala hodisa ham bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lganda yuzaga keladi. Tushunishni osonlashtirish uchun keling, misol masalasini va uning izohini ko'rib chiqaylik.
Asosiy nazariya
Agar bizda o'zaro bog'liq bo'lmagan ikkita A va B hodisasi bo'lsa, unda A yoki B hodisasining ehtimolini hisoblash uchun qo'shish qoidasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
Bu yerga:
– \( P(A \cup B) \) A yoki B (yoki ikkalasi ham) sodir bo'lish ehtimoli.
– \( P(A) \) A hodisasining sodir bo'lish ehtimoli.
– \( P(B) \) B hodisasining sodir bo'lish ehtimoli.
– \( P(A \cap B) \) A va B ning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli.
Muammolar namunasi
1-savol: Maktabda o'quvchilarning 70% futbol o'ynashni yoqtirishadi (A tadbir), o'quvchilarning 40% basketbol o'ynashni yoqtirishadi (B tadbir) va o'quvchilarning 20% ikkala sport turini ham o'ynashni yoqtirishadi. O'quvchining futbol yoki basketbol o'ynashni yoqtirishi ehtimoli qanday?
Munozara:
Bu aniq:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \boshqa B) = 0.20 \)
Ikkita o'zaro istisno qiluvchi hodisani qo'shish qoidasidan foydalanib:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
P(A \ stakan B) = 0.70 + 0.40 – 0.20
\[ P(A \stakan B) = 0.90 \]
Demak, talabaning futbol yoki basketbol o'ynashni yoqtirishi ehtimoli 0.90 yoki 90% ni tashkil qiladi.
2-savol: So'rovnomada respondentlarning 35% kofe (A hodisasi), respondentlarning 50% choy (B hodisasi) va respondentlarning 10% ikkalasini ham yoqtirishgan. Respondentning kofe yoki choyni yoqtirish ehtimoli qanday?
Munozara:
Bu aniq:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \boshqa B) = 0.10 \)
Ikkita o'zaro istisno qiluvchi hodisani qo'shish qoidasidan foydalanib:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
P(A \ stakan B) = 0.35 + 0.50 – 0.10
\[ P(A \stakan B) = 0.75 \]
Demak, respondentning qahva yoki choyni yoqtirish ehtimoli 0.75 yoki 75% ni tashkil qiladi.
3-savol: Statistik ma'lumotlardan ma'lumki, odamlarning 60% kitob o'qishni yoqtirishadi (A hodisasi), 30% odamlar film tomosha qilishni yoqtirishadi (B hodisasi) va 15% odamlar ikkalasini ham qilishni yoqtirishadi. Biror kishining kitob o'qishni yoki film tomosha qilishni yoqtirishi ehtimoli qanday?
Munozara:
Bu aniq:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \boshqa B) = 0.15 \)
Ikkita o'zaro istisno qiluvchi hodisani qo'shish qoidasidan foydalanib:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
P(A \ stakan B) = 0.60 + 0.30 – 0.15
\[ P(A \stakan B) = 0.75 \]
Demak, odamning kitob o'qishni yoki film tomosha qilishni yoqtirishi ehtimoli 0.75 yoki 75% ni tashkil qiladi.
4-savol: Restoranda o'tkazilgan so'rov natijalariga ko'ra, mijozlarning 55% pitsa buyurtma qilgan (A hodisasi), mijozlarning 35% makaron buyurtma qilgan (B hodisasi) va mijozlarning 20% ikkalasini ham buyurtma qilgan. Mijozning pitsa yoki makaron buyurtma qilish ehtimoli qanday?
Munozara:
Bu aniq:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \boshqa B) = 0.20 \)
Ikkita o'zaro istisno qiluvchi hodisani qo'shish qoidasidan foydalanib:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
P(A \ stakan B) = 0.55 + 0.35 – 0.20
\[ P(A \stakan B) = 0.70 \]
Demak, mijozning pizza yoki makaron buyurtma qilish ehtimoli 0.70 yoki 70% ni tashkil qiladi.
Xulosa
Ehtimollikni o'rganishda, ikkita eksklyuziv bo'lmagan A va B hodisalarini qo'shish qoidasi bir yoki ikkala hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimolini aniqlash uchun juda muhimdir. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) formulasidan foydalanish kesishishi yoki umumiy elementi bo'lgan ikkita hodisaning qo'shma ehtimolini hisoblashni osonlashtiradi.
Yuqoridagi misollar orqali biz ushbu hisoblashning asosiy bosqichlarini tushunish bizga uni turli vaziyatlarda, xoh ta'lim, so'rovnomalar yoki kundalik hayotda qo'llash imkonini berishini ko'rishimiz mumkin. Qaysi hodisalar elementlarni birlashtirishini aniqlashda aniqlik va aniqlik ehtimollikni to'g'ri hisoblash uchun juda muhimdir. Shuning uchun, izchil amaliyot va asosiy tushunchalarni tushunish ushbu mavzuni o'zlashtirishga katta yordam beradi.
