Bo'shliqlarni to'ldirish qoidalarini muhokama qilish bo'yicha namunaviy savollar
Joyni to'ldirish qoidasi yoki joylashtirish qoidasi matematika va ehtimollik nazariyasida ko'p holatlarda juda foydali bo'lgan asosiy tushunchadir. Ushbu qoida odatda obyektlarni ma'lum bir tartibda yoki turli xil tartiblarda joylashtirish kontekstida qo'llaniladi. Ushbu maqolada biz joyni to'ldirish qoidasi bilan bog'liq bir nechta misol masalalarni muhokama qilamiz va ularning har biri uchun batafsil yechimlarni taqdim etamiz.
Pendahuluan
Fazoni to'ldirish - bu kombinatorikada qo'llaniladigan keng tarqalgan usul bo'lib, u obyektlarning joylashishi, kombinatsiyasi va tanlanishini o'rganadigan matematika sohasidir. Kombinatorikaning asosiy tamoyillaridan biri ko'paytirish qoidasi bo'lib, unda aytilishicha, agar jarayonda bir nechta bosqichlar mavjud bo'lsa va har bir bosqich ma'lum miqdordagi tanlovga ega bo'lsa, unda mumkin bo'lgan tartiblarning umumiy sonini har bir bosqichdagi tanlovlar sonini ko'paytirish orqali topish mumkin.
Masalan, agar bizda birinchi bosqichda \(m\) tanlovlar va ikkinchi bosqichda \(n\) tanlovlar mavjud bo'lgan ikkita bosqich bo'lsa, unda mumkin bo'lgan tartiblarning umumiy soni \(m \times n\) ga teng.
Keling, ushbu kontseptsiyani ba'zi misol masalalarni yechish uchun qo'llaylik.
1-misol: Kitoblarni javonga joylashtirish
Savol:
5 xil kitob va 5 ta joy to'ldiriladigan kitob javoni bor. Beshta kitobni javonga nechta usulda joylashtirish mumkin?
Munozara:
Bu holda, biz beshta kitobni besh xil joyga joylashtirishimiz kerak. Bu permutatsiya muammosi, chunki tartib juda muhim. Bu masalani yechish uchun biz bo'shliqni to'ldirish qoidasidan yoki ko'paytirish qoidasidan foydalanishimiz mumkin.
1. Birinchi xona uchun bizda 5 ta kitob tanlovi mavjud.
2. Birinchi xonaga bitta kitob qo'yilgandan so'ng, ikkinchi xona uchun 4 ta kitob tanlovi qoladi.
3. Uchinchi xona uchun bizda qolgan 3 ta kitob tanlovi bor va hokazo.
Sozlamalarning umumiy soni uchun tenglama quyidagicha:
\[ 5 \marta 4 \marta 3 \marta 2 \marta 1 = 5! = 120 \]
Shunday qilib, beshta kitobni tartiblashning 120 ta usuli mavjud.
2-misol: Turli harflardan so'zlar yasash
Savol:
“MATEMATIKA” soʻzidagi barcha harflarni takrorlamasdan nechta xil soʻz yasash mumkin?
Munozara:
Avval "MATEMATIKA" so'zida nechta harf borligini ko'rib chiqishimiz kerak. 11 ta harf bor, ularning ba'zilari takrorlangan. Takrorlangan harflar:
– M dan 2 tagacha
– 3 tagacha
– T 2 tagacha
– Boshqa harflar (E, I, K) bir martadan paydo bo'ladi.
Takrorlanuvchi elementlar uchun permutatsiya formulasidan foydalanamiz, ya'ni:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
bu yerda \(n \) elementlarning (harflarning) umumiy soni va \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) har bir alohida elementning takrorlanish soni.
"MATEMATIKA" so'zi bilan:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Shunday qilib, hosil bo'lishi mumkin bo'lgan so'zlar soni:
\[ \frac{11!}{2! \marta 3! \marta 2! \marta 1! \marta 1! \marta 1!} = \frac{39916800}{2 \marta 6 \marta 2 \marta 1 \marta 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
1 663 200 xil so'z hosil qilish mumkin.
3-misol: Martabakdagi kombinatsiyalar sonini aniqlash
Savol:
Martabak sotuvchisi beshta nachinka variantini taklif qiladi (pishloq, shokolad, yerfıstığı, banan va mayiz). Agar mijoz martabak uchun beshta nachinkadan uchtasini tanlashni xohlasa, nechta xil kombinatsiyani tanlashi mumkin?
Munozara:
Bu kombinatsiya masalasi, permutatsiya emas, chunki tartib muhim emas. Biz kombinatsiya formulasidan foydalanamiz:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
bu yerda \(n\) - tanlovlarning umumiy soni va \(k\) - tanlangan tanlovlar soni.
Bu holda, \(n = 5 \) va \(k = 3 \), shuning uchun:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \marta 2!} = \frac{120}{6 \marta 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
5 ta variantdan 3 ta tarkibni tanlash uchun 10 xil kombinatsiya mavjud.
4-misol: Uchrashuvda ishtirokchini joylashtirish
Savol:
Yugurish musobaqasida 8 kishi ishtirok etadi. Eng yaxshi 3 ta marraga yetganlarni nechta usulda joylashtirish mumkin?
Munozara:
Bu takrorlanmasdan permutatsiya masalasi, chunki pozitsiya tartib muhimligini anglatadi. Biz permutatsiya formulasidan foydalanamiz:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Bu holda, \(n = 8 \) va \(k = 3 \), u holda:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Demak, 8 ishtirokchining eng yaxshi uchta o'rnini egallashning 336 ta usuli mavjud.
Ushbu maqolada biz turli vaziyatlarda joy to'ldirish qoidalaridan foydalangan holda bir nechta misol masalalar va ularning yechimlarini muhokama qildik: kitoblarni javonga joylashtirishdan tortib, tanlov g'olibini aniqlashgacha. Ushbu asoslarni tushunish sizga duch kelishi mumkin bo'lgan turli kombinatorika va ehtimollik masalalarini yechishda ko'proq ishonch bag'ishlaydi.
