Poiseuille کی مساوات

اسے Poiseuille equation کہا جاتا ہے کیونکہ یہ مرحوم جین لوئس میری Poiseuille (1799-1869) نے دریافت کیا تھا۔ جیسا کہ وضاحت کی گئی ہے، ہر سیال کو ایک مثالی سیال سمجھا جا سکتا ہے۔ مثالی سیالوں میں viscosity نہیں ہوتی ہے۔ اگر ہم پائپ میں بہنے والے ایک مثالی سیال کا تصور کریں تو سیال کا ہر حصہ ایک ہی رفتار سے حرکت کرتا ہے (v)۔ مثالی سیالوں کے برعکس، اصلی سیالوں، یا روزمرہ کی زندگی میں جن سیالوں کا ہم سامنا کرتے ہیں، ان میں چپکنے والی ہوتی ہے۔ کیونکہ ان میں چپکنے والی ہوتی ہے، جب پائپ میں بہہ جاتا ہے، مثال کے طور پر، سیال کے ہر حصے کی رفتار مختلف ہوتی ہے۔ درمیان میں سیال کی تہہ تیزی سے حرکت کرتی ہے (v بڑی ہوتی ہے)، جبکہ پائپ سے جڑی سیال کی تہہ حرکت نہیں کرتی، یعنی اب بھی (v = 0)۔ لہٰذا، مرکز سے پائپ کے کنارے تک، سیال کا ہر حصہ مختلف رفتار سے حرکت کرتا ہے۔ آپ کے لیے سمجھنے میں آسانی پیدا کرنے کے لیے نیچے دی گئی تصویر کا مشاہدہ کریں…

معلومات :

R = پائپ/ٹیوب کا رداس

v ₁ = ٹیوب کے مرکز/محور میں سیال بہاؤ کی شرح

v ₂ = ٹیوب کے کنارے سے r ₂ کے فاصلے پر سیال بہاؤ کی شرح

v ₃ = ٹیوب کے کنارے سے r ₃ کے فاصلے پر سیال بہاؤ کی شرح

v ₄ = ٹیوب کے کنارے سے r ₄ کے فاصلے پر سیال بہاؤ کی شرح

r = فاصلہ

یہ یقینی بنانے کے لیے کہ ہر سیال کے بہاؤ کی شرح یکساں ہے، کسی بھی پائپ یا ٹیوب کے دونوں سروں پر دباؤ کا فرق ہونا چاہیے جس کے ذریعے سیال بہتا ہے۔ یہاں سیال سے، ہمارا مطلب اصلی سیال ہے، جیسے پائپ سے بہتا ہوا پانی یا تیل، خون کی نالیوں سے بہتا ہوا خون، وغیرہ۔ حقیقی سیال کے بہاؤ میں آسانی سے مدد کرنے کے علاوہ، دباؤ کا فرق بھی سیالوں کو پائپوں میں مختلف بلندیوں پر بہنے دیتا ہے۔

انسانی خون کی گردش کے جسمانی پہلوؤں میں دلچسپی رکھنے والے ایک سابق فرانسیسی سائنسدان ژاں لوئس میری پوسیوئل نے یہ تحقیق کرنے کے لیے تحقیق کی کہ دباؤ میں فرق، ٹیوب کے کراس سیکشنل ایریا، اور ٹیوب کا سائز کسی حقیقی سیال کی رفتار کو کیسے متاثر کرتا ہے۔ Jean Louis Marie Poiseuille کے حاصل کردہ نتائج کو Poiseuille equation کے نام سے جانا جاتا ہے۔

Poiseuille مساوات کو پہلے سے اخذ کردہ viscosity coefficient مساوات کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ ہم viscosity مساوات کا استعمال کرتے ہیں کیونکہ معاملہ ایک جیسا ہے، اگرچہ ایک جیسا نہیں ہے۔ viscosity coefficient مساوات اخذ کرتے وقت، ہم دو متوازی پلیٹوں کے درمیان ایک حقیقی سیال کی تہہ کے بہاؤ پر غور کرتے ہیں، اور سیال ٹینسائل فورس (F) کی وجہ سے حرکت کرنے کے قابل ہوتا ہے۔ فرق یہ ہے کہ Poiseuille مساوات جو ہم اخذ کریں گے وہ دراصل ان عوامل کو بیان کرتی ہے جو پائپ/ٹیوب میں حقیقی سیال کے بہاؤ کو متاثر کرتے ہیں، اور دباؤ کے فرق کی وجہ سے سیال بہتا ہے۔ لہذا، viscosity عددی مساوات کو دوبارہ ایڈجسٹ کرنے کی ضرورت ہے۔

دباؤ میں فرق کی وجہ سے سیال بہہ سکتے ہیں (زیادہ دباؤ والی جگہوں سے کم دباؤ والی جگہوں پر سیال بہتے ہیں)، اس لیے ہم F کو p ₁ – p ₂ (p ₁ > p ₂ ) سے بدل دیتے ہیں۔

viscosity coefficient کے لیے مساوات اخذ کرتے وقت، ہم دو متوازی پلیٹوں کے درمیان ایک حقیقی سیال پرت کے بہاؤ پر غور کرتے ہیں۔ سیال کا ہر حصہ رفتار میں ایک فاصلہ l کی طرف سے باقاعدہ تبدیلی کا تجربہ کرتا ہے۔ اس صورت میں، ٹیوب کے محور سے ٹیوب کے کنارے تک سیال کے بہاؤ کی شرح باقاعدگی سے تبدیل ہوتی رہتی ہے۔ ٹیوب کے محور پر سیال زیادہ رفتار سے بہتا ہے (v)۔ جتنا آگے کنارے کی طرف جاتا ہے، سیال کی رفتار کم ہوتی جاتی ہے۔ ٹیوب کا رداس = ٹیوب کے محور اور ٹیوب کے کنارے کے درمیان فاصلہ = R۔ سیال کے ہر حصے اور ٹیوب کے کنارے کے درمیان فاصلہ = r۔ چونکہ سیال کے ہر حصے کی تعداد بہت زیادہ ہے اور ٹیوب کے کنارے سے ان کا فاصلہ بھی مختلف ہوتا ہے، اس لیے ہم اسے اس طرح لکھتے ہیں:

v ₁ = ٹیوب کے کنارے سے r1 کے فاصلے پر سیال کی رفتار (r1 = R)

v ₂ = ٹیوب کے کنارے سے r2 کے فاصلے پر سیال کی رفتار (r2 < r1)

v ₃ = ٹیوب کے کنارے سے r3 کے فاصلے پر سیال کی رفتار (r3 < r2 < r1)

v ₄ = ٹیوب کے کنارے سے r4 کے فاصلے پر سیال کی رفتار (r4 < r3 < r2 < r1)

…………………………………… ..

vn = سیال کی رفتار ٹیوب کے کنارے سے rn کے فاصلے پر (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )

سیال کے ہر حصے کی تعداد بہت زیادہ ہے اور ہم یہ بھی نہیں جانتے کہ یہ اصل میں کتنا ہے، اس لیے اسے ن کی علامت سے لکھنا کافی ہے۔ سیال کا ہر حصہ ٹیوب کے محور (r1 = R) سے لے کر ٹیوب کے کنارے (rn) تک، شرح (v) میں باقاعدگی سے تبدیلی کا تجربہ کرتا ہے۔ ٹیوب کے محور (r1 = R) سے لے کر ٹیوب کے کنارے تک (rn)، سیال کے ہر حصے کی شرح کم ہو جاتی ہے (v1 > v2 > v3 > v4 > .... > vn)۔

اوپر کی وضاحت سے، ہم اندازہ لگا سکتے ہیں کہ R سے rn تک، سیال کی شرح کم ہوتی ہے۔ پائپ کی لمبائی = L. حاصل کردہ مساوات یہ ہے:

کیونکہ جس چیز پر ہم غور کر رہے ہیں وہ سیال بہاؤ کی شرح (v) ہے، مساوات 2 بن جاتی ہے:

یہ R کے رداس والے پائپ سے r فاصلے پر سیال کے بہاؤ کی شرح کے لیے مساوات ہے۔ اگر آپ اوپر کی تصویر کو دیکھتے ہوئے الجھن میں ہیں.... براہ کرم نوٹ کریں کہ سیال پائپ یا ٹیوب میں بہتا ہے، اس لیے ہمیں سیال کے حجم کے بہاؤ کی شرح کا جائزہ لینے کی ضرورت ہے۔

ٹیوب کے اندر ایک سیال ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم سیال کو بہت چھوٹے ٹکڑوں میں تقسیم کرتے ہیں، جہاں ہر ٹکڑے کا ایک یونٹ رقبہ dA ہوتا ہے، ٹیوب کے محور سے فاصلہ ہوتا ہے اور اس کے بہاؤ کی شرح v ہوتی ہے۔ ریاضی کے لحاظ سے، اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے:

dA1 = سیال سیکشن 1، جو ٹیوب کے محور سے 1 کا فاصلہ ہے۔

dA2 = سیال سیکشن 2، جو ٹیوب کے محور سے 2 کا فاصلہ ہے۔

dA3 = سیال سیکشن 3، جو ٹیوب کے محور سے 3 کا فاصلہ ہے۔

..................................

dA n = سیال سیکشن n، جو ٹیوب کے محور سے dA n کا فاصلہ ہے

اتنے زیادہ سیال ٹکڑے ہیں کہ انہیں صرف n کی علامت کے ساتھ لکھنا آسان ہے۔ ہر سیال ٹکڑا کے حجم کے بہاؤ کی شرح کو ریاضیاتی طور پر اس طرح لکھا جا سکتا ہے:

سیال کا ہر ٹکڑا r = 0 سے r = R (R = ٹیوب کا رداس) کے فاصلے پر ہے۔ دوسرے الفاظ میں، جب ٹیوب کے محور سے ماپا جاتا ہے تو سیال کے ہر ٹکڑے کا فاصلہ مختلف ہوتا ہے۔ اگر ہم کیلکولس (انضمام) کے ساتھ ٹنکر کرتے ہیں، تو ہم ٹیوب میں سیال کے حجم کے بہاؤ کی شرح کے لیے مساوات حاصل کریں گے:

معلومات :

Q = ڈیبٹ

R = پائپ یا ٹیوب کا اندرونی رداس

η = واسکوسیٹی گتانک

P ₁ - p ₂ = پائپ کے دونوں سروں کے درمیان دباؤ کا فرق

L = پائپ کی لمبائی

p ₁ -p ₂ /L = پریشر گریڈینٹ (سیال کا بہاؤ ہمیشہ دباؤ میں کمی کی سمت میں جاتا ہے)

مندرجہ بالا Poiseuille مساوات کی بنیاد پر، یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سیال کے حجم کے بہاؤ کی شرح، عرف خارج ہونے والے مادہ (Q)، ٹیوب کے رداس کی چوتھی طاقت (R ₄ )، دباؤ کے میلان (p ₂ – p ₁ /L) کے متناسب ہے اور viscosity کے الٹا متناسب ہے۔ اگر ٹیوب کا رداس بڑھایا جاتا ہے (واسکاسیٹی گتانک اور دباؤ کا میلان مستقل رہتا ہے)، تو سیال بہاؤ کی شرح 16 کے عنصر سے بڑھ جاتی ہے۔

پائپوں، سرنجوں اور دیگر چیزوں کو ڈیزائن کرنے کا بنیادی تصور اس مساوات کو استعمال کرتا ہے۔ سیال بہاؤ کی شرح R ₄ (R = ٹیوب کا رداس) کے متناسب ہے۔ سرنج کے رداس یا پائپ کے رداس کو احتیاط سے شمار کرنے کی ضرورت ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہم سوئی کے رداس (r x 2) کو دوگنا کرتے ہیں، تو اسپرے کرنے والے سیال بہاؤ کی شرح = انگوٹھے کے دباؤ کی قوت کو 16 گنا بڑھا دیتا ہے۔

Poiseuille کی مساوات یہ بھی ظاہر کرتی ہے کہ رداس کی چوتھی قوت (r ⁴ ) پائپ کے دونوں سروں کے درمیان دباؤ کے فرق کے الٹا متناسب ہے۔ مثال کے طور پر، ابتدائی طور پر خون کی نالی میں خون بہتا ہے جس کا اندرونی رداس r ہے۔ اگر خون کی نالی کا تنگ ہونا ہے (مثال کے طور پر، r/2 = خون کی نالی کا اندرونی رداس 2 گنا کم ہو جاتا ہے)، تو خون کے بہاؤ کو پہلے جیسا بنانے کے لیے 16 گنا دباؤ کا فرق درکار ہوتا ہے (تاکہ خارج ہونے یا خون کے حجم کے بہاؤ کی شرح مستقل رہے)۔