دو خصوصی واقعات A اور B کو شامل کرنے کے اصول پر بحث کرنے والے سوالات کی مثال
امکانی نظریہ میں، دو واقعات کا مجموعہ اصول ان بنیادی اصولوں میں سے ایک ہے جو متعدد واقعات کے امکان کو شمار کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ بعض واقعات کے ممکنہ نتائج کو سمجھنے کے لیے اس تصور کو اکثر مختلف حالات میں لاگو کیا جاتا ہے۔ اس مضمون میں، ہم دو باہمی خصوصی واقعات کے مجموعہ اصول پر بحث کریں گے اور اس تصور کو واضح کرنے کے لیے مثالیں فراہم کریں گے۔
دو باہمی خصوصی واقعات کے اضافے کا اصول
سب سے پہلے، یہ سمجھنا ضروری ہے کہ باہمی خصوصی واقعات سے کیا مراد ہے۔ اگر وہ ایک ہی وقت میں رونما نہیں ہو سکتے تو دو واقعات کو متضاد یا باہمی طور پر خصوصی کہا جاتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، ایک واقعہ کے سیٹ میں کوئی عنصر بھی دوسرے واقعہ کے سیٹ میں ایک عنصر نہیں ہے.
امکان میں اضافے کا اصول یہ بتاتا ہے کہ اگر دو واقعات \(A\) اور \(B\) باہمی طور پر الگ ہیں، تو پھر واقعہ \(A\) یا \(B\) دونوں واقعات کے امکانات کا مجموعہ ہے۔ ریاضیاتی طور پر، اس اصول کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
جہاں \(P(A \cup B)\) \(A\) یا \(B\) کا امکان ہے، \(P(A)\) واقعہ \(A\) کا امکان ہے، اور \(P(B)\) واقعہ \(B\) کا امکان ہے۔
بحث کے سوالات کی مثال
آئیے دو باہمی خصوصی واقعات کو شامل کرنے کے اصول کے اطلاق کو واضح کرنے کے لیے کچھ مثالوں پر بات کرتے ہیں۔
مثال سوال 1
سوال:
چھ طرفہ ڈائی ایک بار پھینکی جاتی ہے۔ اس امکان کو تلاش کریں کہ نتیجہ نمبر 2 یا 4 ہے۔
بحث:
ہم واقعہ \(A\) کو قدر 2 کی موجودگی کے طور پر اور واقعہ \(B\) کو قدر 4 کی موجودگی کے طور پر بیان کر سکتے ہیں۔ اس طرح:
- \(P(A)\) قدر 2 کے ظاہر ہونے کا امکان ہے۔
- \(P(B)\) قدر 4 کے ظاہر ہونے کا امکان ہے۔
چونکہ ایک ڈائی کے چھ مساوی طور پر ممکنہ اطراف ہوتے ہیں، اس لیے کسی خاص قدر کے رول ہونے کا امکان \( \frac{1}{6} \) ہے۔ تو:
\[ P(A) = frac{1}{6} \]
\[ P(B) = frac{1}{6} \]
واقعات \(A\) اور \(B\) باہمی طور پر خصوصی ہیں کیونکہ 2 اور 4 کی قدریں ایک ساتھ ایک ہی رول آف دی ڈائی میں ظاہر نہیں ہو سکتیں۔ لہذا، دو باہمی خصوصی واقعات کے لئے اضافی اصول کا استعمال کرتے ہوئے:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
لہذا، امکان ظاہر ہونے والی قدر 2 یا 4 ہے \( \frac{1}{3} \) یا تقریباً 33.33%۔
مثال سوال 2
سوال:
ایک بیگ میں 10 گیندیں ہوتی ہیں جن میں 4 سرخ گیندیں اور 6 نیلی گیندیں ہوتی ہیں۔ اگر ہم ایک گیند کو بے ترتیب طور پر چنتے ہیں، تو اس بات کا کیا امکان ہے کہ کھینچی گئی گیند سرخ یا نیلی ہو؟
بحث:
ہم واقعہ \(A\) کو سرخ گیند لینے کے طور پر اور واقعہ \(B\) کو نیلی گیند لینے سے تعبیر کر سکتے ہیں۔ اس طرح:
- \(P(A)\) سرخ گیند کو اٹھانے کا امکان ہے۔
- \(P(B)\) نیلی گیند کو چننے کا امکان ہے۔
ہر واقعہ کے امکان کا اندازہ اس طرح لگایا جا سکتا ہے:
\[ P(A) = \frac{\text{سرخ گیندوں کی تعداد}}{\text{گیندوں کی کل تعداد}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{نلی گیندوں کی تعداد}}{\text{گیندوں کی کل تعداد}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
واقعات \(A\) اور \(B\) باہمی طور پر مخصوص ہیں کیونکہ ایک گیند سرخ اور نیلی دونوں نہیں ہو سکتی۔ لہذا، دو باہمی خصوصی واقعات کے لئے اضافی اصول کا استعمال کرتے ہوئے:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
لہٰذا، اس بات کا امکان کہ کھینچی گئی گیند سرخ یا نیلی ہے 1، یا 100%۔ یہ سمجھ میں آتا ہے کیونکہ بیگ میں موجود تمام گیندیں سرخ یا نیلی ہیں۔
مثال سوال 3
سوال:
20 طلباء کی کلاس میں، جن میں سے 7 کو ریاضی پسند ہے، جن میں سے 5 کو سائنس پسند ہے، اور کوئی نہیں جو دونوں کو پسند کرتا ہے۔ اگر ایک طالب علم کا انتخاب بے ترتیب طور پر کیا جاتا ہے، تو اس بات کا امکان تلاش کریں کہ طالب علم ریاضی یا سائنس کو پسند کرتا ہے۔
بحث:
ہم واقعہ \(A\) کو ریاضی کو پسند کرنے کے طور پر، اور واقعہ \(B\) کو سائنس کی پسند کے طور پر بیان کر سکتے ہیں۔ اس طرح:
- \(P(A)\) وہ امکان ہے کہ ایک طالب علم کو ریاضی پسند ہے۔
- \(P(B)\) یہ امکان ہے کہ ایک طالب علم سائنس کو پسند کرتا ہے۔
ہر واقعہ کے امکان کا اندازہ اس طرح لگایا جا سکتا ہے:
\[ P(A) = \frac{\text{طلباء کی تعداد جو ریاضی کو پسند کرتے ہیں}}{\text{طلباء کی کل تعداد}} = frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{سائنس کو پسند کرنے والے طلباء کی تعداد}}{\text{طلباء کی کل تعداد}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
واقعات \(A\) اور \(B\) ایک دوسرے سے الگ ہیں کیونکہ کوئی بھی طالب علم ان دونوں کو پسند نہیں کرتا ہے۔ لہذا، دو باہمی خصوصی واقعات کے لئے اضافی اصول کا استعمال کرتے ہوئے:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
لہذا، اس بات کا امکان کہ تصادفی طور پر منتخب طالب علم ریاضی یا سائنس کو پسند کرتا ہے \( \frac{3}{5} \) یا %60۔
نتیجہ اخذ کرنا
دو باہمی طور پر خصوصی واقعات کا اضافی اصول امکان نظریہ میں ایک بنیادی تصور ہے جو مشترکہ واقعہ کے امکان کے حساب کتاب میں سہولت فراہم کرتا ہے۔ اوپر دی گئی مثالوں میں، ہم نے دیکھا ہے کہ یہ اصول حقیقی دنیا کے حالات پر لاگو کیا جا سکتا ہے جیسے کہ ڈائس رول کرنا، بیگ سے گیندیں بنانا، یا کلاس سے طلباء کا انتخاب کرنا۔ اس تصور کو سمجھنے اور اس پر عبور حاصل کرنے سے، ہم روزمرہ کی زندگی میں مختلف باہمی طور پر خصوصی واقعات کے امکانات کو زیادہ مؤثر طریقے سے شمار کر سکتے ہیں۔
