Mermi hareketi

Mermi hareketi ve çözümlü örnek problemler hakkında makale.

Başlangıç ​​hızı (v_o) ve ilk hızın bileşeni (v_ox ve v_oy)

Parabolik hareketleri her zaman bir başlangıç ​​hızına sahip olan bir cisim. Parabolik hareket, yatay ve dikey yönlerdeki hareketlerin birleşimi olduğundan, başlangıç ​​hızının da yatay ve dikey bileşenleri vardır.

Eğer cisim Şekil 1 ve 3'teki gibi parabolik olarak hareket ediyorsa, yatay yöndeki ilk hız (vox ₎ ve dikey yöndeki ilk hız (voy ₎ aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanır:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Eğer cisim Şekil 2'deki gibi parabolik hareket ediyorsa, o zaman v _o = v _ox (v _oy = 0)

Hız (v_x ve v_y) ve Konum (x ve y)

Belirli bir zaman aralığındaki yatay ve dikey yönlerdeki hız, aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanır:

v _x = v _ox = sabit ( düzgün doğrusal hareket )

v _y = v _oy + gt veya v _y ² = v _oy ² + 2 gh (serbest düşme hareketi)

Nesnelerin belirli bir zaman aralığındaki yatay (x) ve dikey (y) yönlerdeki konumları şu denklem kullanılarak hesaplanır:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Hız (v) ve konumun (h) bileşkesi

Belirli bir zaman aralığındaki sonuç hızı şu denklem kullanılarak hesaplanır:

Belirli bir zaman aralığında nesnelerin yönü şu denklem kullanılarak hesaplanır:

Notlar:

1. Parabolik hareketin yatay bileşeni düzgün doğrusal hareket olarak kabul edilir, bu nedenle vox = vx her zaman sabittir.

2. Parabolik hareketin dikey bileşeni serbest düşme hareketi olarak kabul edilir; bu nedenle, Şekil 1 ve 3'te olduğu gibi cisim parabolik hareket ediyorsa, cismin maksimum yükseklikteki hızının dikey bileşeni sıfırdır (v _y = 0). Bir bilyeyi maksimum yükseklikte dik olarak yukarı doğru fırlatırsanız, cisim aşağı doğru dönmeden önce bir an için durur (v _y = 0). Bu nedenle, parabolik hareket eden cismin maksimum yükseklikteki hızı = v _x = v _ox'tur.

3. Eğer cisim Şekil 2'de gösterildiği gibi parabolik hareket ediyorsa, parabolik hareketin dikey bileşeni serbest düşme hareketi olarak kabul edilir. Eğer cisim Şekil 1 ve 3'te gösterildiği gibi parabolik hareket ediyorsa, parabolik hareketin dikey bileşeni yukarı doğru dikey hareket olarak kabul edilir.

Örnek problemler:

1. Bir mermi, yatay yönde 20 m/s'lik bir ilk hızla ateşleniyor. Silah yerden 5 metre yükseklikte ise, aşağıdakileri belirleyin:

(a) havada kalma süresi

(b) maksimum yükseklik

(c) yatay mesafe

(d) merminin yere çarptığı andaki hızı

Çözüm:

Yatay yöndeki hareket, düzgün doğrusal hareket gibi analiz edilirken, dikey yöndeki hareket serbest düşme hareketi gibi analiz edilir.

Bilinen:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Havada kalma süresi

Çözüm, serbest düşme hareketindeki zaman aralığını (t) belirlemektir.

Bilinenler: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Aranıyor: t

b) Maksimum yükseklik

Maksimum yükseklik = h = 5 metre.

c) Yatay mesafe (d)

Çözüm, düzgün doğrusal hareket üzerindeki mesafeyi belirlemeye benziyor.

Bilinenler: v _ox = 20 m/s, t = 1 saniye

Aranıyor: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Merminin yere çarptığı andaki hızı

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Öncelikle dikey yöndeki son hızı (vty) hesaplıyoruz. Çözüm, serbest düşme hareketinin son hızını belirlemeye benzer.

Bilinenler: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Aranıyor: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

Bir merminin yere çarptığı andaki hızı:

Merminin yönü:

Çünkü v _tx pozitif x ekseni yönündedir (sağa doğru) ve v _ty negatif y ekseni yönündedir (aşağı doğru),

Merminin yere çarptığı andaki yönü, pozitif x eksenine göre -26.1 ^{°' dir (aşağıdaki şekle bakınız).}

2. Top, yatay düzleme 30 ^° açıyla ve saniyede 60 m hızla bir mermi ateşledi. Belirleyin:

(a) maksimum yükseklik

(b) merminin maksimum yükseklikteki hızı

(c) havada kalma süresi

(d) yatay mesafe

(e) merminin yere çarptığı andaki hızı. Yerin düz olduğunu varsayalım. 🙂

Çözüm:

Yatay yöndeki hareket, düzgün doğrusal hareket gibi analiz edilir; dikey yöndeki hareket ise yukarı doğru dikey hareket gibi analiz edilir.

Bilinenler: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Bilinen verilere dayanarak, öncelikle ilk hızın ( _{vo ) dikey ( voy} ) ve yatay ( _vox ) bileşenlerini hesaplıyoruz.

a) Maksimum yükseklik (h)

Çözüm, yukarı doğru dikey hareketteki maksimum yüksekliği belirlemeye benziyor.

Bilinen:

v _öküz = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksimum yükseklik (h)

Çözüm, dikey yukarı doğru harekette ulaşılabilecek maksimum yüksekliği belirlemeye benziyor.

Bilinen:

v _oy = 30 m/s (bu, merminin ilk hızıdır)

v _ty = 0 m/s (Maksimum yükseklikte, merminin dikey hızı = 0 m/s'dir. Bu, son hızdır.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Aranıyor: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 saat

900 = 19.6 saat

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metre

Merminin ulaştığı maksimum yükseklik = 45.9 metre.

b) Maksimum yükseklikteki hız

En yüksek noktada, dikey yöndeki hız = 0 m/s'dir. En yüksek irtifada, sadece yatay yönde bir hız vardır. En yüksek noktadaki yatay yöndeki hız, yatay yöndeki ilk hıza eşittir ve bu da 52.2 m/s'dir. Yatay yöndeki hızın yönü her zaman sabittir, yani pozitif x ekseni yönündedir (eğer cismin hareketi yukarıdaki diyagramda açıklanıyorsa).

c) Havada geçirilen süre

Çözüm, dikey yukarı doğru hareket tartışmasında zaman aralığının (t) belirlenmesine benzer.

Bilinen:

v _oy = 30 m/s (bu, merminin dikey yöndeki ilk hızıdır)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (mermi yere geri döndüğünde, merminin dikey yöndeki yer değiştirmesi = 0 m)

Aranıyor: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 ton

t = 30/4.9

t = 6.12 saniye

Havada kalma süresi = 6.12 saniye

d) Yatay mesafe (d)

Çözüm, düzgün doğrusal hareket üzerindeki mesafeyi (d) belirlemeye benzer.

Bilinen:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 saniye

Aranıyor: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 saniye) = 319.5 m

e) Merminin yere çarptığı andaki hızı

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Öncelikle dikey yöndeki son hızı (v _ty ) hesaplıyoruz. Çözüm, dikey yukarı doğru hareketteki son hızı belirlemektir.

İstenen: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 saniye

Aranıyor: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Negatif işaret, son hızın yönünün aşağı doğru olduğunu gösterir. Dikey yöndeki ilk hızın, dikey yöndeki son hıza eşit olduğuna dikkat edin.

Merminin yere çarptığı andaki hızı:

Kurşunun yönü:

_{v tx} pozitif x ekseni yönünde (sağa doğru) ve vty negatif y ekseni yönünde (aşağı doğru) olduğundan ,

Merminin yere çarptığı andaki hızının yönü, pozitif x eksenine göre -30 ^{°' dir (aşağıdaki şekle bakınız).}

3. 50 metre yüksekliğindeki bir binanın kenarından 10 m/s'lik ilk hızla bir top atılıyor. Top yatay düzleme göre 30° açıyla atılıyorsa, aşağıdakileri belirleyin:

(a) topun yere değdiği zaman aralığı

(b) topun yere çarptığı andaki hızı

(c) Topun ulaşabileceği yatay mesafe, binanın kenarından ölçülür.

(d) topun ulaştığı maksimum yükseklik

Çözüm:

Öncelikle, ilk hızın ( _{vo ) dikey bileşenini ( voy} ) ve yatay bileşenini (vox ₎ hesaplıyoruz.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Topun yere değdiği zaman aralığı

Çözüm, dikey yukarı doğru hareketteki zaman aralığını (t) belirlemeye benzer. Yönü yukarı olan vektörün büyüklüğü pozitif, yönü aşağı olan vektörün büyüklüğü ise negatif olarak seçilir. Topun atıldığı konum referans noktası olarak seçilir. h negatiftir çünkü yer yüzeyi referans noktasının altındadır, g negatiftir çünkü yerçekimi ivmesinin yönü aşağı doğrudur.

Bilinen:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Aranıyor: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9t² + ^5t + 5 = 0

İkinci dereceden denklem formülünü kullanın:

Havada kalma süresi = topun atılmasından yere ulaşmasına kadar geçen süre = 1.64 saniye.

b) Topun yere çarptığı andaki hızı

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Öncelikle dikey yöndeki son hızı (v _ty ) hesaplıyoruz. Çözüm, dikey yukarı doğru hareketteki son hızı belirlemeye benzer.

Bilinenler: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 saniye

Aranıyor: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Negatif işaret, son hızın yönünün aşağı doğru olduğunu gösterir.

Merminin yere çarptığı andaki hızı:

Merminin hızının yönü = merminin yere çarptığı andaki hareket yönü:

Merminin yere çarptığı andaki hızı:

Çünkü vtx pozitif x ekseni yönünde (sağa doğru) ve vty negatif y ekseni yönünde (aşağı doğru),

Merminin yere çarptığı andaki yönü, pozitif x eksenine göre -52°'dir (aşağıdaki şekle bakınız).

c) Topun ulaşabileceği yatay mesafe, binanın kenarından itibaren ölçülür.

Çözüm, düzgün doğrusal harekette kat edilen mesafeyi (d) belirlemeye benzer.

Bilinenler: t = 1.64 saniye, v _x = 8.7 m/s

Aranıyor: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Topun ulaştığı maksimum yükseklik

Bilinenler: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( maksimum yükseklikteki hızın dikey bileşeni = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Aranıyor: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 metre

Topun ulaştığı maksimum yükseklik = binanın tepesinden 1.3 metre yukarıda = 1.3 m + 50 m = yer yüzeyinden 51.3 metre yukarıda.